高教五版高数(经济类)空间曲面及其方程多元函数随堂讲义.pptVIP

* P418 * P419 * * * * * 运行时, 点击“椭球面”,“抛物面”, “双曲面”, “椭圆锥面” 可显示有关内容. * 例如 * 例如 * * 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为 两边平方 例8 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 * * 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 绕 z 轴旋转 这两种曲面都叫做旋转双曲面. 所成曲面方程为 所成曲面方程为 例9 求坐标面 xoz 上的双曲线 (旋转双叶双曲面） (旋转单叶双曲面） * * 5、二次曲面 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为 0 ) * * 椭圆 在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 . ① (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到, 见书 P202) (1) 椭圆锥面 * * (1)范围： (2)与坐标面的交线：椭圆 (2)椭球面 * * 与 的交线为椭圆： (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 同样 的截痕 及 也为椭圆. 当a＝b＝c 时为球面. (3) 截痕: 为正数) * * (3) 抛物面 (1) 椭圆抛物面 (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） 特别,当a = b时为绕 z 轴的旋转抛物面. x y z x y z * * (1)单叶双曲面(Hyperboloid of One Sheet) 椭圆. 时, 截痕为 (实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴） 平面 上的截痕情况: 双曲线: (4) 双曲面 * * 虚轴平行于x 轴） 时, 截痕为 时, 截痕为 (实轴平行于z 轴; 相交直线: 双曲线: * * 双曲线 椭圆 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线 单叶双曲面: 系数二项正,一项为负. 双叶双曲面: 系数一项正,二项负. 图形 (2) 双叶双曲面(Hyperboloid of Two Sheets) （a、b、c 是正数） * * 内容小结 1. 空间曲面 三元方程 球面 旋转曲面 如, 曲线 绕 z 轴的旋转曲面: 柱面 如,曲面 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 . * * 三元二次方程 椭球面 抛物面: 椭圆抛物面 双曲抛物面 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆锥面: 2. 二次曲面 * * 斜率为1的直线 平面解析几何中 空间解析几何中 方 程 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面 思考与练习 1. 指出下列方程的图形: * * * * 四、多元函数 第六章 一、区域 二、多元函数的定义 三、二元函数的几何意义 四、二元函数的极限与连续性 * * 1. 区域 点集 称为点 P0 的? 邻域. 例如,在平面上, (圆邻域) 在空间中, (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径? ,也可写成 点 P0 的去心邻域记为 * * 开区域 闭区域 ? ? ? ? 例如，在平面上 * * ? 整个平面 ? 点集 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域； 但非区域 . o ? 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 P?D 与某定点 A 的距离 ?AP?? K , 则称 D 为有界域 , 界域 . 否则称为无 * * 2、多元函数的定义 引例: ? 圆柱体的体积 ? 定量理想气体的压强 ? 三角形面积的海伦公式 * * * * 3、二元函数的几何意义 图6－26 * * 定义域为 圆域 说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) ? D 图形为中心在原点的上半球面. 的图形一般为空间曲面 ? . 三元函数 定义域为 图形为 空间中的超曲面. 单位闭球 例如, 二元函数 * * 4、二元函数的极限 二元函数的极限也叫做二重极限. * * ? 若当点 趋于不同值或有的极限不存在， 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 在点 (0, 0) 的极限. 则可以断定函数极限 则有 k 值不同极限不同 ! 在 (0,0) 点极限不存在 . 以不同方式趋于 不存在 . 函数 例1 讨论函数 * * 仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在. 不同. 如果它们都存在, 则三者相等. 例如, 显然 与累次极限 但