带入可得滑动模态运动微分方程.PPT

* * * * 对这样一个系统，我给定的平衡点xe=0。当然如果，xe不等于0，总可以用新状态z=x-xe来变换，使原点成为它的的平衡点。 在这样的条件下，如果任意给定的个正数episilon，总存在另一个实数delta，使得当从delta所确定的邻域内出发的轨迹，始终都在episilon所确定的邻域内。 则称之为Lyapunov意义下的稳定。注意这里并没有要求x(t)收敛到xe，只是说，无论选择多么小的数episilon，总对应有delta。就是说系统不发散。 * 引出来指数稳定 * 有了这个定义之后，就可以引出第一法。第一法是通综对非线性系统进行线性化来判断原始非线性系统的稳定性。这里通过泰勒展开，忽略2次以上的高阶项，其中一次项的系数矩阵 * 也就是我们熟知的Jacobbi矩阵，它是线性化后系统的A矩阵。我们知道，A决定了线性系统的稳定性。或者说是A的特征根决定了系统的稳定性。 那么它跟原系统的关系呢？这就是Lyapunov第一法所关心的内容。 * SI-A的行列子，对应系统的特征方程，它的特征根可以用来判断系统的稳定性。如果存在右半平面的根，那么系统不稳定，但这仅针对近似后的线性系统而言。 * Lyapunov第一法由3个定理组成。如果A的特征值均为负实部，则非线性系统在xe处为渐进稳定；如果有一个以上特征值为正实部，则原系统不稳定；如果有实部为0，其余均为负实部，那么稳定性不能确定，它的取决于高阶项。 这种方法比较简单，思路比较直接，就是先对系统进行近似线性化，再判断Jacobbi矩阵的特征值，以此为依据来判断。但是，它的也有很大局限性 因为这里的结论是局部成立的，只能判断平衡点在局部是渐近稳定的，大范围内，或者说什么样的范围内这个结论成立，是无法知道的。另外，很多系统都仅符合第三个定理，也就是无法确定其稳定性。 由此，就引出第二法。 * 参考前面例子中用的机械能这一能量函数的概念。 Lyapunov第二法中引入了标量函数V(x)，它是多维向量x的函数。并且给出了这样函数的四个概念：正定，半正定，负定，半负定。 由此，引出第一个定理，对这样一个系统和平衡点，如果存在V(x)，并且具有连续偏导数，并且V(x)和V导(x)满足，那么xe=0是一致渐进稳定； 如果再附加x-inf，V(x)-inf，那么xe=0是大范围一致渐近稳定的。 画一幅图来表示。 对比第一法，有什么发现。我们可以根据V(x),V(x)的符号，来估算xe的稳定域。而这一点，对于Lyapunov第一法，是无法做到的。 * 相比前一个定理，第二个定理说明V导x为半负定，除xe=0外，还有其它的平衡点，但会在整条轨迹上有V导x=0。那结论仍然成立。 第三个定理，如果无法确定在整条轨迹上V导x=0，只能证明xe=0是一致稳定，无法保证渐近稳定。 除xe外，其余dvx=0的点都是不稳定的，只要有噪声一会偏离。因此，它还是稳定的，但不能保证渐近稳定。 * 最后，如果V导x正定或半正定，那么xe=0不稳定。 当然，这些结论都是充分条件，不是必要条件。也就是说，如果你不能找出这样的Lyapunov函数V(x)，就不能下结论。而现在，尚没有普遍适用的构造Lyapunvo函数的方法。 * 我们介绍lyapunov理论主要是为后面两部分内容打基础，这些方法推导和应用过程中，都涉及到Lyapunov稳定性理论。我们首先来看，非线性系统的反馈线性化方法。 * * 这种方法虽然简单有效，但这种线性化是有条件的，它只能在平衡点附近成立，因此在此基础上设计的控制器无法应用于大工作范围。比如直线倒立摆的平衡控制，咱们设计的双闭环和状态反馈最优控制，只有在摆杆距离平衡位置很小的时候有效，如果角度再大，控制器将失效。 这一切都是在线性化时，胡略高次项的结果。 为解决这一问题，另一种方法是实现精确的反馈线性化。 * 由于b相同，因此，两者的收敛速度是相同的 * 顺便说一下电机的三环控制模式 * 一般假设系统对象为这样的仿射非线性系统，但是如果控制输入被包含在一个非线性函数内部，那么可以通过定义新的输入w，来进行变换，最后再通过逆变换实现。 * 对于这样的模型和参考模型，我们知道了这些关系，因此有如下定理。即如果存在u使得M=0，那么可以使偏差系统大范围一致渐近稳定。 注意，这里我们给出了不等式条件，与前一节精确线性化中严格抵消非线性项是有所区别的。这也就带来另一个好处，如果我们可以使M在系统参数变化范围内，都是非正的，那么就可以确保系统在参数不确定时反馈线性化的鲁棒性。 另外，如果我们使M=0，它就变成了非线性系统的精确线性化。 * 注意，这里跟精确反馈线性化方法在模型表达式方面的区别。并没有要求具有仿射非线性的形式，而是写成了一般形式 * Ep是误差向量与二次型