关于某运用放缩法的数列不等式证明.doc

数列不等式是高考的一个考点，这类问题是把数列知识与不等式的内容整合在一起，形成了证明不等式，求不等式中的参数范围，求数列中的最大项，最小项，比较数列中的项的大小关系，研究数列的单调性等不同解题方向的问题，而数列的条件的给出是多种多样的，可以是已知的等差数列，等比数列，也可以是一个递推公式，或者是一个函数解析式。数列不等式的证明和解决，要调动证明不等式的各种手段，如比较法，放缩法，函数法，反证法，均值不等式法，数学归纳法，分析法等等，因此，这类题目从已知条件给出的信息，求解目标需求的信息中，可寻求的解题过程所用的方法是相当丰富的，并且对于考查逻辑推理，演绎证明，运算求解，归纳抽象等理性思维能力以及数学联结能力都是很好的素材。 放缩法放缩法是要证明不等式A<B成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法。放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩。; (2) (3) (4); (5) (6)) (7) 已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且 （1）求{}的通项公式； （2）设数列{}满足，并记为{}的前n项和，求证： （Ⅰ）解：由，解得a1＝1或a1＝2，由假设a1＝S1＞1，因此a1＝2。 又由an+1＝Sn+1- Sn＝， 得an+1- an-3＝0或an+1＝-an 因an＞0，故an+1＝-an不成立，舍去。 因此an+1- an-3＝0。从而｛an｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛an｝的通项为an＝3n-2。 （Ⅱ）证法一：由可解得 ； 从而。 因此。 令,则 。 因，故 . 特别的。从而， 即。 证法二：同证法一求得bn及Tn。 由二项式定理知当c＞0时，不等式 成立。 由此不等式有 ＝。 证法三：同证法一求得bn及Tn。 令An＝，Bn＝，Cn＝。 因，因此。 从而 ＞ 在数列中，，，． （Ⅰ）证明数列是等比数列； （Ⅱ）求数列的前项和； （Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立． Ⅰ）证明：由题设，得 ，． 又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为 ． 所以数列的前项和． （Ⅲ）证明：对任意的， ． 所以不等式，对任意皆成立． 已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（n+1,u）（u,N +），其中为正实数. （Ⅰ）用x表示x； （Ⅱ）若a14，记anlg，证明数列｛a1｝成等比数列，并求数列｛x｝的通项公式； （Ⅲ）若x1＝4，bn＝x－2，Tn是数列｛b｝的前n项和，证明T<3. 解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力． （Ⅰ）由题可得． 所以曲线在点处的切线方程是：． 即． 令，得． 即． 显然，∴． （Ⅱ）由，知，同理． 　　　故． 从而，即．所以，数列成等比数列． 故． 即． 从而 所以 （Ⅲ）由（Ⅱ）知， ∴ ∴ 当时，显然． 当时， ∴ ． 　　　综上，． 已知实数列等比数列,其中成等差数列. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)数列的前项和记为证明: ＜128…). 解：（Ⅰ）设等比数列的公比为， 由，得，从而，，． 因为成等差数列，所以， 即，． 所以．故． （Ⅱ）． 设数列的首项． （1）求的通项公式； （2）设，证明，其中为正整数． 解：（1）由 整理得 ． 又，所以是首项为，公比为的等比数列，得 （2）方法一： 由（1）可知，故． 那么， 又由（1）知且，故， 因此 为正整数． 方法二： 由（1）可知， 因为， 所以 ． 由可得， 即 两边开平方得 ． 即 为正整数． 已知数列中，，． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）若数列中，，， 证明：，． 解：（Ⅰ）由题设： ， ． 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， ， 即的通项公式为，． （Ⅱ）用数学归纳法证明． （ⅰ）当时，因，，所以 ，结论成立． （ⅱ）假设当时，结论成立，即， 也即． 当时， ， 又， 所以　　 ． 也就是说，当时，结论成立． 根据（ⅰ）和（ⅱ）知，． 实用标准文案 精彩文档