柱体的体积若函数fxy.PPT

乐 区域可表示为 经过变量的替换，它们分别的变化情况？ 上海交大乐经良 Chap 9 重积分 上海交大乐经良 Chap 9 —1 二重积分的概念和性质 乐 9.1.1 典型例子 一. 平面薄板的质量 平面薄板位于xy 平面区域D, 其面密度为μ(x,y) 如何求其质量？ 类似一元的处理方法，采用: (1) 分割：将D任意划分成n个 小区域 D 的面积 记为 (2) 作和：在小区域分得很小时，近似认为质量 薄板的质量近似地表达 均匀,任取 乐 二. 曲顶柱体的体积 (3) 取极限：记 是小区域 存在，就给出了薄板的质量 曲面S ： 柱体的侧面是母线垂直xy 平面的柱面，顶面为 底面是xy 平面上区域D, 如何求 此曲顶柱体的体积？ 直径) 那么若 的 乐 y x z O f(?i,?i) ?Di S D (?i,?i) (1)分割：用曲线将D 分成小区域 而 的面积记为 (2)求和：区域分得很小时， 用柱体来近似小曲顶柱体的体积， 任取 则总体积近似为 (3)取极限：记 (di 是小区域 的直径),则 体积V 由如下极限给出 乐 的概念，这类问题要计算在一个平面区域上 分布率不均匀的量的总量 ? 从以上例子抽象出来就得到二重积分 乐 9.1.2 二重积分定义 设D是xy 平面的有界闭区域，函数f(x,y)在D定义， 总有 (其中 I 为实数,若将D任意划分成个小区域 任取 作和 是小区域 的直径),则称函数 f(x,y)在D上可积，I 称为f(x,y)在D的二重积分 , 乐 二重积分的几何意义： 柱体的体积 若函数f(x,y)在有界区域 D 上分片连续有界， 则f(x,y)在D可积 可积的充分条件 以区域D为底，以曲面S: 为顶的曲顶 记为 乐 9.1.3 二重积分的性质 性质1（线性） 若 是常数， 性质2（可加性） 两个子区域, 设以下性质中出现的积分均存在 性质3 若积分区域D 分成D1,D2 乐 性质4 （单调性）若 性质5 (中值定理) 若D是有界闭区域， 推论 （1）若 （2） 则 （3）若 则 上海交大乐经良 Chap 9 —2 二重积分的计算 乐 9.2.1 直角坐标系下的计算 设 区域 y=?1(x) O x y=?2(x) z=f(x,y) y z a A(x) x y 二重积分 的值等于以D为底，以曲面 S: z = f (x,y)为顶的曲顶柱体的体积 利用定积分来求体积 O y=?2(x) y=?1(x) a b D 考虑垂直x 轴过x 处的平面截 曲顶柱体所得截面积 A(x) b x 型正则区域 乐 截面曲边梯形的面积 A(x) 曲顶柱体的体积 导出 写成 乐 若积分区域 y 型正则区域 c d 则有 x y 对于一般区域的二重积分 可将其分成若干个正则子区域， 利用积分的可加性，分别在各子区域积分后求和 乐 例 计算二重积分 其中 例 计算二重积分 其中D是由抛物线 与直线 所围区域 例 计算二重积分 其中D是由抛物线 与直线 所围区域 乐 例 交换以下累次积分的次序 ? 当积分区域关于x 轴或y 轴对称时，注意被 积函数是否有奇偶性从而使积分简化 (对称性非常重要! ) 例 计算二重积分 其中D是上半圆域 乐 例 计算二重积分 其中区域 （往年考研试题） 例 设函数 f(x)在区间[0,1]上连续，且设 ，求积分 （往年考研题） 乐 H.W 习题 9 3 (2)(3) 5 7 (1)(3) 8 (2)(5)(6)(7)(8) 10 (1)(2)(4) 11 (1),(2),(4) 12 (1)(2) 乐 9.2.2 极坐标系下的计算公式 当积分区域的边界曲线或被积函数用极坐标表 示较为简单时，二重积分有时可用极坐标来计算 我们来考虑面积元素 y x O r r+?r ?? 在极坐标下的形式 用r为常数所表示的圆周族 和θ为常数所表示的射线族分割 区域D， 那么小区域面积 乐 从直角坐标变换为极坐标时的二重积分的 变换公式 若区域 O r=r2(?) ? ? r=r1(?) D 二重积分化为累次积分 乐 化为极坐标系下的累次积分，其中D为 1) 由直线 y=x，上半圆周 围成 2）由直线 y = x, y = 0 和x = 1所围成 例 计算二重积分 其中区域 例 交换积分次序 例 计算二重积分 乐 例 求球体 被圆柱面 所割下部分的体积 V y x z R x O y D r=Rcos? 例 求双纽线 所围 区域的面积 乐 例 求积分 例 求二次积分 乐 9.2.3 二重积分的变量