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同余定理解法的其他情况
同余定理
分三类:口诀套用,化余为一,其他
“差同减差,和同加和,余同取余,最小公倍加”这是同余问题的口诀。所谓同余问题,就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数,反求这个数,称作同余问题。首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数,下面以4、5、6为例,请记住它们的最小公倍数是60。1、差同减差:用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的差相同,此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,减去这个相同的差数,称为:“差同减差”。例:“一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3”,因为4-1=5-2=6-3=3,所以取-3,表示为60n-3。【60后面的“n”请见4、,下同】2、和同加和:用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的和相同,此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的和数,称为:“和同加和”。例:“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1”,因为4+3=5+2=6+1=7,所以取+7,表示为60n+7。3、余同取余:用一个数除以几个不同的数,得到的余数相同,此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的余数,称为:“余同取余”。例:“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”,因为余数都是1,所以取+1,表示为60n+1。4、最小公倍加:所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍(即上面1、2、3中的60n)都满足条件,称为:“最小公倍加”,也称为:“公倍数作周期”。
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余数问题中的一个重要问题就是同余问题,在同余问题解决过程中,推荐代入法和口诀法两大类。其中口诀法是公倍数做周期,余同取余,和同加和,差同减差的应用,但是有时候会出现余不同,和不同并且差也不同的现象,这就需要我们采用剩余定理进行解决。
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剩余定理的原理比较繁琐,不如直接套用解题方法进行快速解题更能解决行测中的类似问题。下面给出一些例题,对剩余定理的解题方法加以熟练:
【例1】一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是多少?
题中3、4、5三个数两两互质。
则〔4,5〕=20﹔〔3,5〕=15﹔〔3,4〕=12﹔〔3,4,5〕=60。?? 为了使20被3除余1,用20×2=40﹔?????? 使15被4除余1,用15×3=45﹔?????? 使12被5除余1,用12×3=36。?? 然后,分别乘以他们的余数:40×1+45×2+36×4=274,?? 因为,27460,所以,274-60×4=34,就是所求的数。【例2】一个数被3除余2,被7除余4,被8除余5,这个数最小是多少?
在1000内符合这样条件的数有几个?
题中3、7、8三个数两两互质。????? 则〔7,8〕=56﹔〔3,8〕=24﹔〔3,7〕=21﹔〔3,7,8〕=168。?? 为了使56被3除余1,用56×2=112﹔?????? 使24被7除余1,用24×5=120﹔?????? 使21被8除余1,用21×5=105﹔?? 然后,112×2+120×4+105×5=1229。?? 因为,1229168,所以,1229-168×7=53,就是所求的数。?? 再用(1000-53)/168得5, 所以在1000内符合条件的数有5个。【例3】一个数除以5余4,除以8余3,除以11余2,求满足条件的最小的自然数。
题中5、8、11三个数两两互质。???? 则〔8,11〕=88﹔〔5,11〕=55﹔〔5,8〕=40﹔〔5,8,11〕=440。?? 为了使88被5除余1,用88×2=176﹔?????? 使55被8除余1,用55×7=385﹔?????? 使40被11除余1,用40×8=320。?? 然后,176×4+385×3+320×2=2499,?? 因为,2499440,所以,2499-440×5=299,就是所求的数。【例4】有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人 ?
题中9、7、5三个数两两互质。???? 则〔7,5〕=35﹔〔9,5〕=45﹔〔9,7〕=63﹔〔9,7,5〕=315。?? 为了使35被9除余1,用35×8=280﹔?????? 使45被7除余1,用45×5=225﹔?????? 使63被5除余1,用63×2=126。?? 然后,280×5+225×1+126×2=1877,?? 因为,1877315,所以,1877-315×5=302,就是所求的数。
对剩余定理问题进行直接套用的方式是解决此类题目最快的方法,华图公务员考试研究中心希望考生记住解题步骤,进行相关问题的解决。
来源:华图教育
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剩余定理的一般情况:一个数,除以7余3,除以8余6,除以5余2,求满足这些条件的
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