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1.6有理数的乘方及混合运算
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1.6有理数的乘方及混合运算
【学习目标】
1.理解有理数乘方的定义;
2.掌握有理数乘方运算的符号法则,并能熟练进行乘方运算;
3. 进一步掌握有理数的混合运算.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘方
定义:求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂(power).
即有:.在中,叫做底数, n叫做指数.
要点诠释:
(1)乘方与幂不同,乘方是几个相同因数的乘法运算,幂是乘方运算的结果.
(2)底数一定是相同的因数,当底数不是单纯的一个数时,要用括号括起来.
(3)一个数可以看作这个数本身的一次方.例如,5就是51,指数1通常省略不写.
要点二、乘方运算的符号法则
(1)正数的任何次幂都是正数;(2)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;(3)0的任何正整数次幂都是0;(4)任何一个数的偶次幂都是非负数,即 .
要点诠释:
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样,首先应确定幂的符号,然后再计算幂的绝对值.
(2)任何数的偶次幂都是非负数.
要点三、有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序:(1)先乘方,再乘除,最后加减;(2)同级运算,从左到右进行;(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.
要点诠释:
(1)有理数运算分三级,并且从高级到低级进行运算,加减法是第一级运算,乘除法是第二级运算,乘方和开方(以后学习)是第三级运算;
(2)在含有多重括号的混合运算中,有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行.
(3)在运算过程中注意运算律的运用.
【典型例题】
类型一、有理数乘方
1. 把下列各式写成幂的形式:
(1);
(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5;
(3).
【答案与解析】 (1);
(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5=(-3.7)4×52;
(3)
【总结升华】乘方时,当底数是分数、负数时,应加上括号.
2.计算:
(1) (2) (3) (4)
(5) (6) (7) (8)
【答案与解析】
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7);
(8)
【总结升华】与不同,,而表示的n次幂的相反数.
举一反三:
【变式1】计算:(1)(-4)4 (2)23 (3) (4)(-1.5)2
【答案】 (1)(-4)4=(-4)×(-4)×(-4)×(-4)=256;
(2)23=2×2×2=8; (3)
(4) (-1.5)2=(-1.5)×(-1.5)=2.25
【变式2】比较(-5)3与-53的异同.
【答案】相同点:它们的结果相同,指数相同;
不同点:(-5)3表示-5的3次方,即(-5)×(-5)×(-5)=-125,而-53表示5的3次方的相反数,即-53=-(5×5×5).因此,它们的底数不同,表示的意义不同.
类型二、乘方的符号法则
3.不做运算,判断下列各运算结果的符号.
(-2)7,(-3)24,(-1.0009)2009,,-(-2)2010
【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断,可得:
(-2)7运算的结果是负;(-3)24运算的结果为正;(-1.0009)2009运算的结果是负;运算的结果是正;-(-2)2010运算的结果是负.
【总结升华】“一看底数,二看指数”,当底数是正数时,结果为正;当底数是0时,结果是0;当底数是负数时,再看指数,若指数为偶数,结果为正;若指数是奇数,结果为负.
举一反三:
【变式】(南充)计算:(-1)2009的结果是( ).
A.-l B.1 C.-2009 D.2009
【答案】A
类型三、有理数的混合运算
4.计算: (1)
(2)
(3)
(4)
【答案与解析】
(1)法一:原式=;
法二:原式=
(2)原式
(3) 原式=-32-3+66-9=22
(4) 原式
【总结升华】有理数的混合运算,确定运算顺序是关键,细心计算是运算正确的前提.
举一反三:
【变式1】计算:
【答案】原式
【变式2】计算:
【答案】原式
5. ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】逆用分配律可得:,所以答案为:C
【总结升华】当几项均为幂的形式,逆用分配律提出共同的因数时,要提指数较小
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