[讲义]乘方公式的逆用与变形用.docVIP

PAGE PAGE 1 （原文已刊登于2006年 [讲义]乘方公式的逆用与变形用 上海外国语大学附属浦东外国语学校 励一敏 代数公式的应用是初中代数的重点内容，其中，公式的逆用和变形用往往是学习的难点，但是这恰恰是最能够体现数学思想的部分。本篇以积的乘方和幂的乘方公式为例，抛砖引玉地介绍一些公式逆用和变形用的思想。 （一）积的乘方公式的逆用 公式称为积的乘方公式，其中是正整数。将这个公式反过来就是，例如，其特征是“指数不变，底数相乘”，它是一种常用的简便运算手段。在计算中，如果遇到两个底数的乘积正好是一个简单的整数（尤其是1或-1），那么利用这个公式可起到简便运算的作用。 [例1] 计算。 分析：本题最后一步是乘法运算，且两个底数正好互为倒数，逆用积的乘方公式可以使计算得到简化，但是算式中两个乘方的指数并不相同，要实现简便运算须把看成。 解：原式。 [评注] 在许多问题中，如果遇到指数虽不同但相差不多的情况时，我们可以利用同底数幂的乘法法则将两个乘方的指数化为相同，从而使算式满足逆用积的乘方公式的条件。 [例2] 计算 。 解：原式。 [例3] 计算。 分析：将看成公式中的，将看成公式中的，满足指数相同的条件。 解：原式。 请注意，上例中倒数第二步的结果不符合科学记数法的规定，因此要改写成。 （二）幂的乘方公式的逆用和变形用 公式称为幂的乘方公式，其中、是正整数，它的特征是“底数不变，指数相乘”。将它从右往左看即为公式的逆用，即。此外还有，这是幂的乘方公式的变形用，它利用了指数相乘中乘法交换律的原理。这两个公式在整式运算中有着非常广的应用。 [例4] 已知，求的值。 分析：运用公式即可将化为，从而利用已知条件求得结果。 解：原式。 [例5] 已知，求的值。 分析：利用幂的乘方公式将原式变形为用表示的代数式再代入计算即可。 解：原式 当时，原式。 [例6] 比较大小： 。 分析：这两个幂的底数和指数都不相同，但是注意到指数55和33的公因数是11，可逆用幂的乘方公式将这两个幂都转化为指数是11的乘方的形式，然后比较底数的大小。 解：， ∵ ∴ 。 [评注] 在比较幂的大小时，应当先观察两个幂的底数或指数之间有什么特征，然后利用乘方的性质将指数（或底数）化为相同，从而比较幂的大小。 （适合于二期课改教材七年级第一学期）