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3.1.2空间向量的数乘运算(一)
教学要求:了解共线或平行向量的概念,掌握表示方法;理解共线向量定理及其推论;掌握空间直线的向量参数方程;会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题.
教学重点:空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式.
教学过程:
一、复习引入
1. 回顾平面向量向量知识:平行向量或共线向量?怎样判定向量与非零向量是否共线?
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上,所以平行向量也叫做共线向量.
向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使=λ.称平面向量共线定理,
二、新课讲授
1.定义:与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量.平行于记作//.
2.关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论:
共线向量定理:空间任意两个向量、(≠0),//的充要条件是存在实数λ,使=λ.
理解:⑴上述定理包含两个方面:①性质定理:若∥(≠0),则有=,其中是唯一确定的实数。②判断定理:若存在唯一实数,使=(≠0),则有∥(若用此结论判断、所在直线平行,还需(或)上有一点不在(或)上).
⑵对于确定的和,=表示空间与平行或共线,长度为 ||,当0时与同向,当0时与反向的所有向量.
3. 推论:如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线,那么对于任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式 .
其中向量叫做直线l的方向向量.
推论证明如下:
∵ l//a ,∴ 对于l上任意一点P,存在唯一的实数t,使得.(*)
又∵ 对于空间任意一点O,有,
∴ , . ①
若在l上取,则有.(**)
又∵ ∴ .②
当时,.③
理解:⑴ 表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式,③式是线段的中点公式.事实上,表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础,也是直线参数方程的表达形式.
OABCD⑵ 表达式
O
A
B
C
D
⑶ 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定.
空间向量共线(平行)的定义、共线向量定理与平面向量完全相同,
是平面向量相关知识的推广.
4. 出示例1:用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形
是平行四边形. ( 分析:如何用向量方法来证明?)
5. 出示例2:如图O是空间任意一点,C、D是线段AB的三等分点,分别用、表示、.
三、巩固练习: 作业:
3.1.2空间向量的数乘运算(二)
教学要求:了解向量与平面平行、共面向量的意义,掌握向量与平面平行的表示方法;理解共面向量定理及其推论;掌握点在已知平面内的充要条件;会用上述知识解决立几中有关的简单问题.
教学重点:点在已知平面内的充要条件.
教学难点:对点在已知平面内的充要条件的理解与运用.
教学过程:
一、复习引入
1. 空间向量的有关知识——共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间直线的向量表示式、中点公式.
2. 必修④《平面向量》,平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对这一平面内的任意一个向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
二、新课讲授
1. 定义:如果表示空间向量a的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内,则称向量a平行于平面α,记作a//α.
向量与平面平行,向量所在的直线可以在平面内,而直线与平面平行时两者是没有公共点的.
2. 定义:平行于同一平面的向量叫做共面向量.共面向量不一定是在同一平面内的,但可以平移到同一平面内.
3. 讨论:空间中任意三个向量一定是共面向量吗?请举例说明.
结论:空间中的任意三个向量不一定是共面向量.例如:对于空间四边形ABCD,、、这三个向量就不是共面向量.
4. 讨论:空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢?
5. 得出共面向量定理:如果两个向量a、b不共线,则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y,使得 p= xa+yb .
证明:必要性:由已知,两个向量a、b不共线.
∵ 向量p与向量a、b共面
∴ 由平面向量基本定理得:存在一对有序实数对x,y,使得 p= xa+yb.
充分性:如图,∵ xa,yb分别与a、b共线, ∴ xa,yb都在a、b确定的平面内.
又∵ xa+yb是以|xa|、|yb|为邻边的平行四边形的一
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