高数A1空间解析几何和向量代数[答案解析].doc

. WORD格式整理. . PAGE . .专业知识分享. . 第八章 空间解析几何与向量代数 1．自点分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。 解：按作图规则作出空间直角坐标系，作出如图平行六面体。 平面，垂足的坐标为； 平面，垂足的坐标为； 平面，垂足的坐标为； 轴，垂足的坐标为；轴，垂足的坐标为； 轴，垂足的坐标为。 2．在平面上，求与三点、和等距离的点。 解：设所求点为 则 ， ，。 由于与、、三点等距，故， 于是有：， 解此方程组，得，，故所求的点为。 3．已知，，求的模、方向余弦与方向角。 解：由题设知： 则 ，，， 于是，，，。 4．已知，，，求下列各向量的坐标： (1)；(2)；(3)；(4) 解：(1) ；(2)；(3)； (4) 5．设向量的方向余弦分别满足(1)；(2)；(3)，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？ 解：(1)，向量与轴的夹角为，则向量与轴垂直或平行于平面； (2)，向量与轴的夹角为，则向量与轴同向； (3)，则向量既垂直于轴，又垂直于轴，即向量垂直于面。 6．分别求出向量，及的模，并分别用单位向量，，表示向量，，。 解：，，，，，。 7．设，和，求向量在轴上的投影及在轴上的分向量。 解： 故在轴上的投影为13，在轴上的分向量为。 8．在坐标面上求一与已知向量垂直的向量。 解：设所求向量为，由题意， 取，得，故与垂直。当然任一不为零的数与的乘积也垂直。 9．求以，，为顶点的三角形的面积。 解：由向量的定义，可知三角形的面积为，因为，，所以 ， 于是， 10．求与向量，都垂直的单位向量。 解：由向量积的定义可各，若，则同时垂直于和，且 ， 因此，与平行的单位向量有两个： 和 11．设三向量，，满足，试证三向量，，共面。 证：由有 两边与作数量积，得 由于，，所以，从而，，共面。 12．将坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。 解：由坐标面上的曲线绕一坐标轴旋转时生成的曲面方程的规律，所得的旋转曲面的方程为，即。 13．画出下列各方程所表示的曲面： a/2 a/2 (1) o (1)；(2)；(3)。 o 2 3 (2) （3） 14．指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？ (1)；(2)；(3)；(4)。 方程 在平面解几中表示 在空间解几中表示 平行于轴的一直线 与平面平行且过的平面 斜率为1，在轴截距为1的直线 平行于轴，过(0,1,0)，(-1,0,1)的平面 圆心在原点，半径为2的圆 以过轴的直线为轴，半径为2的圆柱面 双曲线 母线平行于轴的双曲柱面 15．说明下列旋转曲面是怎样形成的？ (1)；(2)。 解：(1)由坐标面上的双曲线，绕轴旋转一周或是坐标面上的双曲线，绕轴旋转一周得到。 (2)是坐标面上关于轴对称的一对相交直线，即和中之一条绕轴旋转一周；或是坐标上关于轴对称的一对相交直线，即和中之一条，绕轴旋转一周。 16．指出下列方程组在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么图形？ (1)；(2) 解：(1)在平面解析几何中表示两直线的交点；在空间解析几何中表示两平面的交线； (2)在平面解析几何中表示椭圆与其一切线的交点；在空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平面的交线。 17．分别求母线平行于轴及轴而且通过曲线的柱面方程。 解：10．从方程组中消去得：，此方程即母线平行于轴且通过已知曲线的柱面方程； 20．从方程组中消去得：，此方程即母线平行于轴且通过此曲线的柱面方程。 18．求球面与平面的交线在面上的投影的方程。 解：由，得，代入，消去得，即，这就是通过球面与平面的交线，并且母线平行于轴的柱面方程，将它与联系，得：，即为所求的投影方程。 19．求平面与面