P0039,专题讲座——函数中的恒成立问题.docVIP

PAGE PAGE 1 数学中的恒成立问题 1.已知函数，． （Ⅰ）求的极值； （Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围． 解： （Ⅰ）由导数运算法则知，．令，得．当时，，单调递增；当时，，单调递减．故当时，有极大值，且极大值为． （Ⅱ）欲使在上恒成立，只需在上恒成立， K]等价于只需在上的最大值小于．设（），由（Ⅰ）知，在处取得最大值．所以，即的取值范围为． 2. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）是否存在正常数恒成立？如果存在，求出最小正数，否则请说明理由。 解：（1）由， 求导数得到 ， 令，∴x=0,因此上为增函数 （2）令，只需上恒成立, 当t=2时，显然成立， 当恒成立， 又， [,即最小值为4。 3.已知二次函数g（x）对任意实数x都满足，且．令． （1）求 g(x)的表达式； （2）设，，证明:对任意x,x，恒有 解：（1）设，于是 所以 又，则．所以. （2）因为对，所以在内单调递减. 于是 记，则所以函数在是单调增函数，所以，故命题成立. 4． （＞0） （1）已知≥0，若＞0恒成立，求的取值范围； （2） （＞0），判断是否存在极值。若存在，求出极值，若不存在，说明理由。 解：（1）==，0≤≤2时，∵＞0 ＞0 ∴在（0.+∞）上单调递增∴＞=0，符合题意。＞2时，令=0 ∵＞0解得 ∴0＜＜时，＜0，在（0，单调递减，则（0，，＜=0 与已知矛盾 综上，0≤≤ （2）= ，k.Com]由（1）=时,＞ .即＞ , ∴＞ ∴在（，+∞）没有极值点。 5.已知函数 （1）若求的单调区间及的最小值； （2）若，求的单调区间； （3）试比较）的大小，，并证明你的结论。 解：（1）， 故a=1时，的增区间为，减区间为（0，1）， （2）若则在区间上是递增的；当在区间上是递减的，若，则在区间上是递增的，在区间上是递减的； 当在区间（0，a）上是递减的，而在处连续；则在区间上是递增的，在区间（0，1）上是递减的，综上：当的递增区间是，递减区间是（0，a）；当时，的递增区间是，递减区间是（0，1） （3）由（1）可知，当，时，有，即 6.设函数． （1）若对于定义域的任意，都有成立，求实数的值； （2）若函数在定义域上是单调函数，求的取值范围； （3）若，证明对于任意的正整数不等式都成立. 解：（1）由，得，∴的定义域为，对都有≥， 函数定义域上连续，∴是函数的最小值，故有，∵，∴，. （2）∵，又函数在定义域是单调函数，∴，或在上恒成立.若，∵，∴在上恒成立，即恒成立，由此得；若，∵，∴，即恒成立，因在没有最小值，∴不存在实数使恒成立.综上所知，实数的取值范围是. （3）当时，函数，令函数， 则，∴当时，，∴函数在上单调递减，又，∴当时，，即恒成立.故.∵，∴，取，，∴，故结论成立. 7.已知函数． （1）求的导数； （2）求证：不等式上恒成立； （3）求的最大值． 解：（1） （2）由(1)知，其中 令，对求导得 8.已知函数f (x) = eg(x)，g (x) = (e是自然对数的底) （1）若函数g (x)是(1，+∞)上的增函数，求k的取值范围； （2）若对任意的x＞0，都有f (x)＜x + 1，求满足条件的最大整数k的值； （3）证明：ln(1 + 1×2) + ln(1 + 2×3) + …+ln[1 + n (n + 1)]＞2n – 3 (n∈N*)． 解：（1）设因为g (x)是(1，+∞)上的增函数， 所以g′(x)＞0，得到k＞ – 1；所以k的取值范围为(–1，+∞) （2）由条件得到f (1)＜2猜测最大整数k = 2， 现在证明对任意x＞0恒成立，等价于 设故x∈(0，2)时，h′(x)＜0，当x∈(2，+∞)时，h′(x)＞0， 所以对任意的x＞0都有h (x)≥h (2) = ln3 + 1＞2，即对任意x＞0恒成立，所以整数k的最大值为2； （3）由（2）得到不等式 ln(1 + 1×2) + ln(1 + 2×3) + …+ln[1 + n (n + 1)] ＞ ＞所以原不等式成立． 9.已知函数 （1）讨论方程在区间内的解的个数； （2）求证： 解：（1） 由，得。令所以，方程在区间内解的个数即为函数的图像与直线交点的个数。当时, . 当在区间内变化时, , 变化如下: 时，，单调递增，时，，单调递减，当时，；当时，；当时，。所以，当或时，该方程无解；当或时，该方程有一个解；当时，该方程有两个解。 （2） 由(Ⅰ)知 ，∴.∴. ∴