《离散数学---一阶逻辑》课件.ppt

* 置换规则、换名规则、代替规则 置换规则 设?(A)是含公式A的公式, ?(B)是用公式B取 代?(A)中的所有A得到的公式, 则?(A)??(B) 换名规则 将公式A中某量词的指导变元及其在辖域内的 所有约束出现改成该量词辖域内未曾出现的某个个体变 项, 其余部分不变, 记所得公式为A?, 则A??A 代替规则 将公式A中某个自由出现的个体变项的所有自 由出现改成A中未曾出现的某个个体变项, 其余部分不变, 记所得公式为A?, 则A??A * 实例 例1 消去公式中既约束出现、又自由出现的个体变项 (1) ?xF(x,y,z) ? ?yG(x,y,z) ? ?uF(u,y,z) ? ?yG(x,y,z) 换名规则 ? ?uF(u,y,z) ? ?vG(x,v,z) 换名规则 或者 ? ?xF(x,u,z) ? ?yG(x,y,z) 代替规则 ? ?xF(x,u,z) ? ?yG(v,y,z) 代替规则 (2) ?x(F(x,y) ? ?yG(x,y,z)) ? ?x(F(x,y) ? ?tG(x,t,z)) 换名规则 或者 ? ?x(F(x,t) ? ?yG(x,y,z)) 代替规则 * 实例 例2 设个体域D={a,b,c}, 消去下面公式中的量词: (1) ?x(F(x)?G(x)) ? (F(a)?G(a))?(F(b)?G(b))?(F(c)?G(c)) (2) ?x(F(x)??yG(y)) ? ?xF(x)??yG(y) 量词辖域收缩 ?(F(a)?F(b)?F(c))?(G(a)?G(b)?G(c)) ? ?x(F(x,a)?F(x,b)?F(x,c)) (3) ?x?yF(x,y) ? (F(a,a)?F(a,b)?F(a,c))?(F(b,a)?F(b,b)?F(b,c)) ?(F(c,a)?F(c,b)?F(c,c)) * 实例 解 (F(f(2))?G(2, f(2)))?(F(f(3))?G(3, f(3))) 例3 给定解释I: (a) D={2,3}, (b) (c) :x是奇数, : x=2 ? y=2, : x=y. 在I下求下列各式的真值: (1) ?x(F(f(x))?G(x, f(x))) (2) ?x?yL(x,y) ? (1?1)?(0?1) ? 1 解 ?yL(2,y)??yL(3,y) ? (L(2,2)?L(2,3))?(L(3,2)?L(3,3)) ? (1?0)?(0?1) ? 0 * 实例 例4 证明下列等值式: ? ?x(M(x)?F(x)) ? ?x(M(x)? ?F(x)) 证 左边 ? ?x ?(M(x)?F(x)) 量词否定等值式 ? ?x(?M(x)??F(x)) ? ?x(M(x)? ?F(x)) * 前束范式 定义3.11 设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q1x1Q2x2…Qkxk B 则称A为前束范式, 其中Qi 为?或?, 1?i?k, B为不含量词的 公式. 例如 ?x?y(F(x)?(G(y)?H(x,y))) ?x?(F(x)?G(x)) 是前束范式 ?x(F(x)??y(G(y)?H(x,y))) ??x(F(x)?G(x)) 不是前束范式 * 公式的前束范式 定理3.3(前束范式存在定理) 一阶逻辑中的任何公式都存 在与之等值的前束范式 例5 求公式的前束范式 (1) ?xF(x)???xG(x) 解 ? ?xF(x)??x?G(x) 量词否定等值式 ? ?x(F(x)??G(x)) 量词分配等值式 解2 ? ?xF(x)???yG(y) 换名规则 ? ?xF(x)??y?G(y) 量词否定等值式 ? ?x(F(x)??y?G(y)) 量词辖域扩张 ? ?x?y(F(x)??G(y)) 量词辖域扩张 谢谢！ * 欢迎辞 * 第3章 一阶逻辑 * 第3章 一阶逻辑 3.1 一阶逻辑基本概念 3.2 一阶逻辑等值演算 * 3.1 一阶逻辑基本概念 3.1.1 命题逻