主要内容有序对与笛卡儿积二元关系的定义与表示法关系的运.ppt

第七章 二元关系 主要内容 有序对与笛卡儿积 二元关系的定义与表示法 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系 7.1 有序对与笛卡儿积 定义7.1 由两个元素 x 和 y，按照一定的顺序组成的二元组 称为有序对，记作x,y. 有序对性质: (1) 有序性 x,y?y,x （当x?y时） (2) x,y与u,v相等的充分必要条件是 x,y=u,v ? x=u?y=v. 笛卡儿积 定义7.2 设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作A?B，且 A?B = {x,y| x?A?y?B}. 笛卡儿积的性质 (1) 不适合交换律 A?B ? B?A (A?B, A??, B??) (2) 不适合结合律 (A?B)?C ? A?(B?C) (A??, B??, C??) (3) 对于并或交运算满足分配律 A?(B?C) = (A?B)?(A?C) (B?C)?A = (B?A)?(C?A) A?(B?C) = (A?B)?(A?C) (B?C)?A = (B?A)?(C?A) (4) 若 A 或 B 中有一个为空集，则 A?B 就是空集. A?? = ??B = ? (5) 若 |A| = m, |B| = n, 则 |A?B| = mn 性质证明 证明 A?(B?C) = (A?B)?(A?C) 实例 例2 (1) 证明A=B,C=D ? A?C=B?D (2) A?C = B?D是否推出 A=B,C=D? 为什么？ 7.2 二元关系 定义7.3 如果一个集合满足以下条件之一： (1) 集合非空, 且它的元素都是有序对 (2) 集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R. 如果x,y∈R, 可记作xRy；如果x,y?R, 则记作x y 实例：R={1,2,a,b}, S={1,2,a,b}. R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面的记法，可以写1R2, aRb, a c等. A到B的关系与A上的关系 定义7.4 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A 到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系. A上重要关系的实例 定义7.5 设 A 为集合, (1) ?是A上的关系，称为空关系 (2) 全域关系 EA = {x,y| x∈A∧y∈A} = A×A 恒等关系 IA = {x,x| x∈A} 小于等于关系 LA = {x,y| x,y∈A∧x≤y}, A为实数子集 整除关系 DB = {x,y| x,y∈B∧x整除y}, A为非0整数子集 包含关系 R? = {x,y| x,y∈A∧x?y}, A是集合族. 实例 例如, A={1, 2}, 则  EA = {1,1,1,2,2,1,2,2}  IA = {1,1,2,2} 例如 A = {1, 2, 3}, B={a, b}, 则 LA = {1,1,1,2,1,3,2,2,2,3,3,3} DA = {1,1,1,2,1,3,2,2,3,3} 例如 A = P(B) = {?,{a},{b},{a,b}}, 则 A上的包含关系是 R? = {?,?,?,{a},?,{b},?,{a,b},{a},{a}, {a},{a,b},{b},{b},{b},{a,b},{a,b},{a,b}} 类似的还可以定义： 大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等. 关系的表示 1. 关系矩阵 若A={x1, x2, …, xm}，B={y1, y2, …, yn}，R是从A到B的 关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR = [ rij ] m?n, 其中 rij = 1? xi, yj ?R. 2. 关系图 若A= {x1, x2, …, xm}，R是从A上的关系，R的关系图是GR=A, R, 其中A为结点集，R为边集. 如果xi,xj属于 关系R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边. 注意： 关系矩阵适合表示从A到B的关系或A上的关系（A,B为有穷集） 关系图适合表示有穷集A上的关系 实例 例4