数学空间向量与立体几何.doc

PAGE PAGE PAGE 1 一、知识点 一常用结论 1．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行. 3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直. 4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 5．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 7.夹角公式 ：设a＝，b＝，则cos〈a，b〉=. 8．异面直线所成角：= （其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量） 9.直线与平面所成角：(为平面的法向量). 10.二面角的平面角 或（，为平面，的法向量）. 11.空间两点间的距离公式 若A，B，则=. 12.异面直线间的距离： (是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离). 13.点到平面的距离：（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）. 14.三个向量和的平方公式： 15. 长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 116. 面积射影定理 .(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的). 117. 球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长 〈二〉温馨提示： 1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及义？ ① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次. ② 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是． ③ 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是． 〈三〉解题思路： 1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化： 线面平行的判定： 线面平行的性质： 三垂线定理（及逆定理）： 线面垂直： 面面垂直： 2、三类角的定义及求法 （1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90° （2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90° （三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。） 三类角的求法： ①找出或作出有关的角。 ②证明其符合定义，并指出所求作的角。 ③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。 二、题型与方法 【考点透视】 不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成。 求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。 【例题解析】 考点1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 例1如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）求点到平面的距离． 考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的 大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力． 解答过程：解法一：（Ⅰ）取中点，连结． 为正三角形，． 正三棱柱中，平面平面， 平面． 连结，在正方形中，分别为 的中点， ， ． 在正方形中，， 平面． （Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面． ， 为二面角的平面角． 在中，由等面积法可求得， 又， ． 所以二面角的大小为． （Ⅲ）中，，． 在正三棱柱中，到平面的距离为． 设点到平面的距离为． 由，得， ． 点到平面的距离为． 解法二：（Ⅰ）取中点，连结． 为正三角形，． 在正三棱柱中，平面平面， 平面． 取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，