高考圆锥曲线中定点与定值问题(题型总结超全).doc

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PAGE 1 专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题 一、解答题 1.【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为;圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)证明:在轴上存在定点,使得为定值;并求出该定点的坐标. 【答案】(1)(2) 【解析】试题分析:(Ⅰ)设圆过椭圆的上、下、右三个顶点,可求得,再根据椭圆的离心率求得,可得椭圆的方程;(Ⅱ)设直线的方程为,将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标,计算得 。设x轴上的定点为,可得,由定值可得需满足,解得可得定点坐标。 解得。 ∴椭圆的标准方程为. (Ⅱ)证明: 由题意设直线的方程为, 由消去y整理得, 设,, 要使其为定值,需满足, 解得. 故定点的坐标为. 点睛:解析几何中定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点; (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意. 2.【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为的直线经过点与抛物线(为常数)交于不同的两点,当时,弦的长为. (1)求抛物线的标准方程; (2)过点的直线交抛物线于另一点,且直线经过点,判断直线是否过定点?若过定点,求出该点坐标;若不过定点,请说明理由. 【答案】(1);(2)直线过定点 【解析】试题分析:(1)根据弦长公式即可求出答案; (2)由(1)可设,则, 则; 同理: . 由在直线上(1); 由在直线上将(1)代入 (2) 将(2)代入方程,即可得出直线过定点. (2)设,则, 则即; 同理: ; . 由在直线上,即(1); 由在直线上将(1)代入 (2) 将(2)代入方程,易得直线过定点 3.【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线过点, 是上一点,斜率为的直线交于不同两点(不过点),且的重心的纵坐标为. (1)求抛物线的方程,并求其焦点坐标; (2)记直线的斜率分别为,求的值. 【答案】(1)方程为;其焦点坐标为(2) 【解析】试题分析;(1)将代入,得,可得抛物线的方程及其焦点坐标; (2)设直线的方程为,将它代入得,利用韦达定理,结合斜率公式以及的重心的纵坐标,化简可 的值; 因为的重心的纵坐标为, 所以,所以,所以, 所以, 又 . 所以. 4.已知椭圆的短轴端点到右焦点的距离为2. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过点的直线交椭圆于两点,交直线于点,若, ,求证: 为定值. 【答案】(1) ;(2)详见解析. 【解析】试题分析:(Ⅰ)利用椭圆的几何要素间的关系进行求解;(Ⅱ)联立直线和椭圆的方程,得到关于或的一元二次方程,利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明. (Ⅱ)由题意直线过点,且斜率存在,设方程为, 将代人得点坐标为, 由,消元得, 设, ,则且, 方法一:因为,所以. 同理,且与异号, 所以 . 所以, 为定值. 当时,同理可得. 所以, 为定值. 同理,且与异号, 所以            . 又当直线与轴重合时, , 所以, 为定值. 【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系,其主要思路是联立直线和椭圆的方程,整理成关于或的一元二次方程,利用根与系数的关系进行求解,因为直线过点,在设方程时,往往设为 ,可减少讨论该直线是否存在斜率. 5.【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线: , 为的焦点,过的直线与相交于两点. (1)设的斜率为1,求; (2)求证: 是一个定值. 【答案】(1) (2)见解析 【解析】试题分析:(1)把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出;(2)把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出; (2)证明:设直线的方程为, 由得 ∴, , ∵, , ∴是一个定值. 点睛:熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物

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