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第十三章 空间向量
考纲导读
考纲导读
1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘.
2.了解空间向量的基本定理;理解空间向量坐标的概念;掌握空间向量的坐标运算.
空间向量定义、加法、减法、数乘运算数量积
空间向量
定义、加法、减法、数乘运算
数量积
坐标表示:夹角和距离公式
求距离
求空间角
证明平行与垂直
知识网络
知识网络
高考导航
高考导航
理解空间向量的夹角的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;掌握空间向量的数量积的坐标形式;能用向量的数量积判断向量的共线与垂直
第1课时 空间向量及其运算
基础过关
基础过关
空间向量是平面向量的推广.在空间,任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量.因此,空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广.
本节知识点是:
1.空间向量的概念,空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积;
(1) 向量:具有 和 的量.
(2) 向量相等:方向 且长度 .
(3) 向量加法法则: .
(4) 向量减法法则: .
(5) 数乘向量法则: .
2.线性运算律
(1) 加法交换律:a+b= .
(2) 加法结合律:(a+b)+c= .
(3) 数乘分配律:(a+b)= .
3.共线向量
(1)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 .
(2) 共线向量定理:对空间任意两个向量a、b(b0),a∥b等价于存在实数,使 .
(3) 直线的向量参数方程:设直线l过定点A且平行于非零向量a,则对于空间中任意一点O,点P在l上等价于存在,使 .
4.共面向量
(1) 共面向量:平行于 的向量.
(2) 共面向量定理:两个向量a、b不共线,则向量P与向量a、b共面的充要条件是存在实数对(),使P .
共面向量定理的推论: .
5.空间向量基本定理
(1) 空间向量的基底: 的三个向量.
(2) 空间向量基本定理:如果a,b,c三个向量不共面,那么对空间中任意一个向量p,存在一个唯一的有序实数组,使 .
空间向量基本定理的推论:设O,A,B,C是不共面的的四点,则对空间中任意一点P,都存在唯一的有序实数组,使 .
6.空间向量的数量积
(1) 空间向量的夹角: .
(2) 空间向量的长度或模: .
(3) 空间向量的数量积:已知空间中任意两个向量a、b,则a·b= .
空间向量的数量积的常用结论:
(a) cos〈a、b〉= ;
(b) ?a?2= ;
(c) ab .
(4) 空间向量的数量积的运算律:
(a) 交换律a·b= ;
(b) 分配律a·(b+c)= .
典型例题
典型例题
例1.已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,点F是侧面CDD1C1的中心,若,求x-y的值
解:易求得
变式训练1. 在平行六面体中,M为AC与BD的交点,若a,b,c,则下列向量中与相等的向量是 ( )
A.-a+b+c B.a+b+c
ABCDA1C1B1C.a-b+c D.-
A
B
C
D
A1
C1
B1
解:A
例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC-A1B1C1中,D为AC
求证:AB1∥平面C1BD.
证明:记则∴,∴共面.
∵B1平面C1BD, AB1//平面C1BD.
变式训练2:正方体ABCD-EFGH中,M、N分别是对角线AC和BE上的点,且AM=EN.
(1) 求证:MN∥平面FC;
(2) 求证:MN⊥AB;
(3) 当MA为何值时,MN取最小值,最小值是多少?
解:(1) 设
(2)
(3) 设正方体的边长为a,
也即,
例3. 已知四面体ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD, G、H分别是△ABC和△ACD的重心.
求证:(1) AD⊥BC
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