解析几何中定值和定点问题.doc

PAGE PAGE 10 解析几何中的定值定点问题（一） 一、定点问题 【例1】．已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切． ⑴求椭圆C的方程； ⑵设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围； ⑶在⑵的条件下，证明直线与轴相交于定点． 解：⑴由题意知，所以，即，又因为，所以，故椭圆的方程为：． ⑵由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为 ① 联立消去得：， 由得， 又不合题意， 所以直线的斜率的取值范围是或． ⑶设点，则，直线的方程为， 令，得，将代入整理，得． ② 由得①代入②整理，得， 所以直线与轴相交于定点． 【针对性练习1】 在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和． ⑴求轨迹的方程； ⑵当时，求与的关系，并证明直线过定点． 解：⑴∵点到，的距离之和是，∴的轨迹是长轴为，焦点在轴上焦中为的椭圆，其方程为． ⑵将，代入曲线的方程，整理得 ，因为直线与曲线交于不同的两点和，所以 ① 设，，则， ② 且，显然，曲线与轴的负半轴交于点，所以，．由，得． 将②、③代入上式，整理得．所以，即或．经检验，都符合条件①，当时，直线的方程为．显然，此时直线经过定点点．即直线经过点，与题意不符．当时，直线的方程为． 显然，此时直线经过定点点，且不过点．综上，与的关系是：，且直线经过定点点． 【针对性练习2】在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m0,。 （1）设动点P满足,求点P的轨迹； （2）设，求点T的坐标； （3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。 【解析】 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。 解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。 由，得 化简得。 故所求点P的轨迹为直线。 （2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，） 直线MTA方程为：，即， 直线NTB 方程为：，即。 联立方程组，解得：， 所以点T的坐标为。 （3）点T的坐标为 直线MTA方程为：，即， 直线NTB 方程为：，即。 分别与椭圆联立方程组，同时考虑到， 解得：、。 （方法一）当时，直线MN方程为： 令，解得：。此时必过点D（1，0）； 当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。 所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。 （方法二）若，则由及，得， 此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。 若，则，直线MD的斜率， 直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。 因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。 【针对性练习3】已知椭圆C中心在原点，焦点在轴上，焦距为，短轴长为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线：与椭圆交于不同的两点（不是椭圆的左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出定点的坐标． 解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为，短半轴长为，半焦距为，则 解得 ∴ 椭圆C的标准方程为 ． …… 4分 （Ⅱ）由方程组 消去，得 ． …… 6分 由题意△， 整理得： ① ………7分 设，则 ， ． ……… 8分 由已知，， 且椭圆的右顶点为， ∴　．　　 …… 10分 即 ， 也即 ， 整理得．解得 或 ，均满足① ……… 11分 当时，直线的方程为 ，过定点，不符合题意舍去； 当时，直线的方程为 ，过定点， 二、定值问题 【例2】．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴的非负半轴上，点到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点距离的最大值是6. (Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率； (Ⅱ)若为焦点关于直线的对称点，动点满足，问是否存在一个定点，使到点的距离为定值？若存在，求出点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由. 解：(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得 . 所以椭圆的标准方程为. 离心率 (Ⅱ),设由得 化简得，即 故存在一个定点，使到点的距离为定值，其定值为 【例3】．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2，0)为定点． (Ⅰ)若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程； (Ⅱ)若动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由． 解：(Ⅰ) 设抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为.由已知，，即，故抛物线C的方程是．