三角函数恒等变换练习题与答案详解.doc

PAGE 1 ——————————————————————————————————————————————————— 　两角和与差的正弦、余弦、正切 利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换；2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键． 知识点回顾 1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(Cα－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β　(Cα＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β　(Sα－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β　(Sα＋β) tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)　(Tα－β) tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)　(Tα＋β) 2． 二倍角公式 sin 2α＝； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α). 3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如Tα±β可变形为 tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tan?α＋β?)＝eq \f(tan α－tan β,tan?α－β?)－1. 4． 函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝ eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)或f(α)＝eq \r(a2＋b2)cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定． [难点正本　疑点清源] 三角变换中的“三变” (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等． (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等． 热身训练 1． 已知sin(α＋β)＝eq \f(2,3)，sin(α－β)＝－eq \f(1,5)，则eq \f(tan α,tan β)的值为_______． 2． 函数f(x)＝2sin x(sin x＋cos x)的单调增区间为______________________． 3． (2012·江苏)设α为锐角，若cos＝eq \f(4,5)，则 4． (2012·江西)若eq \f(sin α＋cos α,sin α－cos α)＝eq \f(1,2)，则tan 2α等于 (　　) A．－eq \f(3,4) B.eq \f(3,4) C．－eq \f(4,3) D.eq \f(4,3) 5． (2011·辽宁)设sin(eq \f(π,4)＋θ)＝eq \f(1,3)，则sin 2θ等于 (　　) A．－eq \f(7,9) B．－eq \f(1,9) C.eq \f(1,9) D.eq \f(7,9) 典例分析 题型一　三角函数式的化简、求值问题 例1　(1)化简： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tan \f(α,2))－tan \f(α,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋tan α·tan \f(α,2)))； (2)求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋eq \r(3)tan 10°)]·eq \r(2sin280°). 在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan eq \f(A,2)＋tan eq \f(C,2)＋eq \r(3)tan eq \f(A,2)tan eq \f(C,2)的值为________． 题型二　三角函数的给角求值与给值求角问题 例2　(1)已知0<β<eq \f(π,2)<α<π，且cos＝－eq \f(1,9)，sin＝eq \f(2,3)，求cos(α＋β)的值； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq \f(1,2)，tan β＝－eq \f(1,7)，求2α－β的值． 已知cos α＝eq \f(1,7)，cos(α－β)＝eq \f(13,14)，且0<β<α<eq \f(π,2)