〖高等代数〗：学习笔记.doc

. 《高等代数(上)》：学习笔记 这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。有些笔误也修正差不多了。课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。 第一章 行列式 §1.1 定义 D=231 这是行列式（或写为|D|） 这是矩阵，注意区别 a11x1+ D=a11 代数和右下斜线为正左下斜线为负3阶行列式 代数和 右下斜线为正 左下斜线为负 3阶行列式 偶排列，正号奇排列，负号 偶排列，正号 奇排列，负号 逆序数 τj1, 逆序数 n阶排列，有n!个 n阶排列，有n!个 n阶排列§1.3 n阶行列式的代数和D=a n阶排列 §1.4 行列式性质 1、行列式转置值不变： D 2、k可以乘上某行(列)： kD 3、加法：某行之和 展开为两行列式之和： D 4、互换两行(列)：负号 D 5、两行相同(成比例)：零值 D 6、某行乘以k加到另一行：值不变 D  所在行列的和(同等于逆序数τ)§1.5 代数余子式 所在行列的和(同等于逆序数τ) 余子式：删去i, j所在的行与列后得到的n-1阶行列式 Aij=(- 余子式：删去i, j所在的行与列后得到的n-1阶行列式 代数余子式 代数余子式 n阶行列式 |D|=ak1 n阶行列式 §1.6 范德蒙行列式|D|=1 第二章 线性方程组 §2.1 克莱姆法则 系数行列式 (b在1列)D1=b1a12 系数行列式 (b在1列) 该解法适用于n阶当D≠0时，方程组有唯一解 该解法适用于n阶 只有当常数项b不全为零时，且s=n时才可用克莱姆法则 只有当常数项b不全为零时，且s=n时才可用克莱姆法则 §2.2 消元法 初等变换：反复对方程进行row变换，最后剩下一个上三角矩阵。 如果线性方程组D≠ §2.3 数域 　　　 P n维基本向量组§2.4 n维向量 α=(a1, n维基本向量组 数量乘积：kα 零向量：0 负向量：-α 行向量与列向量：  §2.5 线性相关 rank=n，有唯一解rankn，有无穷多解 β=k1α rank=n，有唯一解 rankn，有无穷多解 由向量组 线性表出 由向量组 线性表出 线性相关 向量组等价： 常数项为0的充要条件 k 常数项为0的充要条件 α线性相关 有待更进一步补充α线性无关 有待更进一步补充 K有解，且不全0 K只有零解 D D s s= α αi不能被 不可逆，因为分母不能为0 可逆 rn ，称退化的 r=n 称非退化(或满秩) 特征值λ有重根，不一定相关 特征值λ无重根一定无关 极大线性无关组：每个向量αi都不能被前面某 例(α1, α2, 不 不能表出，即α §2.6 秩 rank=极大线性无关组的向量个数 行秩＝列秩＝行列式秩 详见书P154-155页 例6§2.7 求全部解和基础解系的步骤 详见书P154-155页 例6 第一步：求梯阵 增广矩阵 注：如果是求矩阵化和求特征值，只需求基础解系η i，又称特征向量第二步：求一般解 注：如果是求矩阵化和求特征值，只需求基础解系η n-r个第三步：求特解γ0 设自由 n-r个 第四步：求齐次的一般解 使 即xr+1,xr+2,? 即x εi 第六步：答：得全部解 γ=γ0+k1η1+k2 基础解系特解全部解 基础解系 特解 全部解 第三章 矩阵 附1：矩阵名词汇总： 方阵： s=n 系数矩阵： s 增广矩阵： s 左下：对角线左三角形梯阵： 左下 左下：对角线左三角形 约化梯阵： 左下 三角矩阵： 左下 对角线上的元素对角矩阵： Λ除 对角线上的元素 单位矩阵： E 零矩阵： O 数量矩阵： kE 转置矩阵： A 分块矩阵： ? b即系数Rank即矩阵的秩满秩矩阵： b即系数 Rank即矩阵的秩 逆矩阵： A 伴随矩阵： A 等价矩阵： A初等变换B 初等矩阵： E 正交矩阵： AA 相似矩阵： A~B, B 约当形矩阵： 二次形矩阵：详看§5.1 实对称矩阵：实数，对角线对称 λ即特征值(半)正定矩阵：λ全 λ即特征值 (半)负定矩阵：λ全 不定矩阵： λ不全 标准形矩阵：对角线 附2：一般n维线性方程组、s×n维矩阵、n维向量组的表示法 注：b 注：bi bi 注：s为行数，n为列数(未知数个数)附：有的书行数用m表示 注：s为行数，n为列数(未知数个数) 附：有的书行数用m表示 注：这个 注：这个ki既可理解为：基础解系ηi 也可以理解为：矩阵对角化后对角线的元素λ 还可以理解为：二次