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LOGO LOGO 生活中的数学 ——初探数学建模 汕头市第一中学 肖朝欣 什么是数学建模 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。 数学建模也称数学实验，是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。 物理 生物 化学 数学 经济 数学在各领域中的地位 数学建模 能用数学解决的问题 数学理论的加工 物理 生化 经济 心理 今天我们要说什么 1 如果你是警察或侦探，在到达案发现场时你能推测死者的死亡时间吗？ 2 如果你知道某个国家近百年来人口的数量，你能猜测它未来十年后的人口数量吗？ 3 生物世界复杂多变，一种生物的生存有许多因素在左右着它，能否用你的数学头脑，来理性分析呢？ 目 录 死亡时间推测问题 1 人口增长猜测问题 2 山猫数量随条件变化问题 3 利用Excel作简单图象的介绍 4 你能推算出案发时间吗？ 某日凌晨一住所发生一件凶杀案，警方于6时到达现场后测得尸温26℃，室温17℃，2小时后尸温下降了3℃，试根据冷却定律建立差分方程，估计凶杀案发生的时间. 冷却定律为 其中室温为C，人体常温即初始提问为T0， 死亡后第t小时尸体温度为T，k为可求常数. 如何建模 可设正常人体温为37℃ 假设案发之后没有外界环境对尸体温度产生客观影响 建模过程 使用冷却定律作理论依据来帮助计算 列出相应适用的数学方程 分析过程 由公式 根据题意，可将 T=23℃,C=17℃,To=26℃,t=2 代入上式，可求得常数 故可建立差分方程： 分析过程 Ti表示经过第i小时尸体的温度，借助计算机的计算我们可以得到，从凌晨开始后每隔一小时的尸体温度状况： 凌晨到早上6点尸温的变化 t 0 1 2 3 4 5 6 T 37.000 33.333 30.333 27.887 25.889 24.258 22.926 描点作出温度与时间的关系图 结果分析 由上述数据，当受害者死亡接近4小时时，尸温接近26℃，而警方于6时测得尸温为26℃。而当受害者死亡接近6小时时测得尸温约为23℃也与题目吻合，从而我们推测凶杀案发生的时间约为凌晨2点。 t 0 1 2 3 4 5 6 T 37.000 33.333 30.333 27.887 25.889 24.258 22.926 你能当大预言家吗？ 建立人口增长模型，用表1的数据预报2010年美国的人口，并进行模型检验.下表是1790——1990年美国每隔十年的人口记录： 表1 美国人口统计数据(百万人) 年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 人口(百万) 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 年份 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 人口(百万) 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 年份 1950 1960 1970 1980 1990 2000 人口(百万) 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4 建模过程 数据处理 拟合函数 计算结果 通过使用散点图，用点 将数据在图象上描绘出来，观察变化 可以借助计算机软件等手段找到满 足接近图象散点的函数，将其表达式求出来 利用拟合出来的函数计算相应的结果 描绘散点图 数据处理 由实验数据散点图知，美国人口数量xk随着时间而增加。为了找到增长率变化的数量规律，我们用前差公式定义美国人口数量在第k个十年的增长率，即 从表格中22个数据我们应该得到21个增长率 rk(k=1,2,…21)，将它们也画成散点图. 年增长率的散点图 拟合一次函数的效果图 实验数据和模拟值的对照 年份 实验数据 模拟值 年份 实验数据 模拟值 1790 3.9 3.9 1900 76 70.57 1800 5.3 5.1489 1910 92 87.981 1810 7.2 6.7905 1920 106.5 108 1820 9.6 8.9434 1930 123.2 130.19 1830 12.9 11.757 1940 131.7 153.75 1840 17.1 15.421 1950 150.7 177.59 1850 23.2 20.163 1960 179.3 200.45 1860