18.（本题满分15分）椭圆C中心为坐标原点O,焦点在y轴.doc

18．(本题满分15分)椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e = eq \f(\r(2),2)，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且． （1）求椭圆方程； （2）若，求m的取值范围． 解：（1）设C：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1（ab0），设c0，c2＝a2－b2，由条件知a-c＝eq \f(\r(2),2)，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)， ∴a＝1，b＝c＝eq \f(\r(2),2)， 故C的方程为：y2＋eq \f(x2,\f(1,2))＝1　 5分 （2）由eq \x\to(AP)＝λeq \x\to(PB)得eq \x\to(OP)－eq \x\to(OA)＝λ（eq \x\to(OB)－eq \x\to(OP)），（1＋λ）eq \x\to(OP)＝eq \x\to(OA)＋λeq \x\to(OB)， ∴λ＋1＝4，λ＝3　 --------7 设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2） eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,2x2＋y2＝1)) 得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0 Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）0 x1＋x2＝eq \f(－2km,k2＋2)， x1x2＝eq \f(m2－1,k2＋2)　 11分 ∵eq \x\to(AP)＝3eq \x\to(PB) ∴－x1＝3x2 ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－2x2,x1x2＝－3x\o\al(2,2))) 消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（eq \f(－2km,k2＋2)）2＋4eq \f(m2－1,k2＋2)＝0 整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　 m2＝eq \f(1,4)时，上式不成立；m2≠eq \f(1,4)时，k2＝eq \f(2－2m2,4m2－1)， 因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝eq \f(2－2m2,4m2－1)0，∴－1m－eq \f(1,2) 或 eq \f(1,2)m1 容易验证k22m2－2成立，所以（ 即所求m的取值范围为（－1，－eq \f(1,2)）∪（eq \f(1,2)，1） ……16分 19．（本题满分16分）已知数列的首项，前项和为，且、、分别是直线上的点A、B、C的横坐标，，设 。 ⑴ 判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； ⑵ 设，证明：。 解：⑴由题意得 ----------4分 数列是以为首项，以2为公比的等比数列。 ………8分 [则（）] ⑵由及得 ， ------------ 11分 则 ---------13分 …16分 20．(本题满分18分)对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。如果函数有且仅有两个不动点、，且。 （1）试求函数的单调区间； （2）点从左到右依次是函数图象上三点，其中求证：⊿是钝角三角形; 解：（1）设 ∴ ∴ 由 又∵ ∴ ∴ …… 6分 于是 由得或； 由得或 故函数的单调递增区间为和， 单调减区间为和 10分 （2）证明:据题意且x1x2x3, 由(1)知f (x1)f (x2)f (x3), …………………8分 即⊿是钝角三角