第21讲 几何与三角.doc

PAGE PAGE 10 第21讲 几何与三角 数学是研究现实世界中数量关系与空间形式的科学。 ——恩格斯 知识方法扫描 求某个锐角的三角函数值的关键是将这个角放在一个直角三角形中，求出这个三角形的三边的比值来。 利用三角方法证明几何问题的方法适用于含有直角三角形的问题，一般的技巧是设法将每一条线段都用直角三角形的一个锐角和一条边（通常是斜边）表示出来。 经典例题解析 例1．（1985年江苏省东台初中数学竞赛试题）如图，在等腰△ABC中，∠A=36°，试根据此图用平面几何知识求出sin18°的值。 解 如图，作∠ABC的平分线交AC于E， ∵∠CBE=∠A=36°，∠C=∠C， ∴△BCE∽△ABC， 设AB=1，BC=x，则CE=1-x, 于是，有， x= 设BC边上的高为AD，则sin18°=。 例2．（1995年昆明市初中数学竞赛试题）海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°，如果渔船不改变航向，继续向东捕捞，有没有触礁的危险（精确到0.1海里，取=1.7321）？ 解. 如图，过A作AC⊥BD，交BD的延长线于C，设AC=x（海里），在Rt△ABC中， BC=x·cot (90°-60°) =x·cot30°。 在Rt△ADC中，DC=x·cot (90°-30°)=x·cot60°， ∵BC-DC=12, ∴x·cot30°-x·cot60°=12, 故x==6（海里） 即AC≈10.4（海里） 答：由于AC＞8海里，故渔船没有触礁的危险。 例3．（2001年澳门初中数学竞赛试题）在△ABC中，已知tanA=, BC边上高的垂足为K，KB=3，KC=17，试求△ABC的周长。 解. 设O是△ABC的外心，作OH⊥BC于点H，作OM⊥AK于点M，连结OA、OB、OC。 因tanA=。 依题设，BC=3+17=20，BH=， 故MO=KH=BH-BK=10-3=7。 又可以证明OA=OB=OC=，由勾股定理，得AM=。 因为 ∠BOC=2∠A，∠BOH=∠A，故MK=OH=OB·cosA=24. 从而AK=AM+MK=24+，由勾股定理，得 AB=， 同理可得 AC=。 因此，△ABC的周长为20+。 例4．（1996年第一届加拿大数学公开赛COMC试题）已知矩形ABCD,　过C作对角线BD的垂线，垂足为P; 过P作PE⊥AD, PF⊥AB, 垂足分别为E，F. 求证：+= 证明 设BD=1，∠PDC=α ，则有 ∠PCB=∠EPD=∠FAP=α， 于是 BC=sinα, BP =BCsinα = sin2α, PF= BPsinα=sin3α; DC=cosα, DP = DCcosα = cos2α, PE= DPcosα= cos3α。 故 += += cos2α+ sin2α=1=. 例5．（1982年上海市数学竞赛试题）已知△ABC中H是垂心，求证： 证明 又∽ 即 同理 右边 注意到 可得右边 由于∽ 右边左边，证毕。 例6．（1984年重庆市初中数学竞赛试题）已知直角梯形ABCD的AB=a, BC=b, CD=c, 腰AD是⊙O的直角，直角腰BC与⊙O交于E、F。求证：tan∠BAE和tan∠BAF是方程ax2-bx+c=0的两根。 证明．如图，连接DE，作OG⊥BC，G为垂足，则有BF=CE。 ∵tan∠BAE= ∴tan∠BAE+tan∠BAF= 又∵∠BAE=∠DEC， ∴tan∠BAE·tan∠BAF=tan∠DEC. tan∠BAF= 故tan∠BAE和tan∠BAF是方程ax2-bx+c=0的两个根。 例7．（广东省初中数学竞赛试题）由定圆O外一定点P引任一割线PAB（不过圆心O），求证：为定值。 分析 由于CD为直径，A点和B点对直径CD的张角是不变的（均为直角），又由于PAB和PCD是交于点P的两条割线，容易证得△APC ∽ △DPB， △BPC ∽ △DPA，这一对三角形的相似关系不论割线PAB怎样变动都不会改变，抓住这些基本的不变量，便抓住了解题的关键。 证明 延长PO，交⊙O于D，连DA、DB、AC、BC，则∠ADC=， ∠BDC= 设∠ADC=α，∠BDC=β，则 === ∵∠PAC=∠PDB, ∠PBC=∠PDA, ∠P=∠P, ∴△APC∽△DPB， △BPC∽△DPA， ∴，故tanα·tanβ= 由于P点为定点，故PC、PD为定长，所以 例8．（美国第24届普特南数学竞赛试题）UV是圆O的弦，M是UV的中