第22讲 面积问题和面积法.doc

PAGE PAGE 9 第22讲 面积问题和面积法 可以用一次的想法是一个诀窍，如果它可以用两次以上，那它就成为一种方法了. ——G.波利亚 知识方法扫描 面积问题指用面积公式计算常规的平面图形的面积，且能用割补法和等积变形求较复杂图形的面积。 面积法通指运用面积关系求解一些几何题甚至代数问题。 要熟练掌握平面图形的面积公式，特别是三角形的面积公式，如 ① S=aha ； ② S=absinC； ③ S=pr； ④ S= ； ⑤ S=。 以上各式中，三角形三边为a，b，c；ha是BC边上的高；p=(a+b+c)是半周长，R和r分别是外接圆和内切圆半径。 2．掌握面积与线段之间的下列重要的关系： ① 高（或底）相等的两个三角形的面积之比，等于底（或高）的比； ② 有一个角相等的两个三角形的面积之比，等于夹这个角的两边乘积之比； ③相似三角形的面积之比，等于相似比的平方。 3．凡涉及三角形的高、垂线或角的平分线的问题，都可以尝试用面积法。线段比与面积比的转化，是常用的技巧 经典例题解析 例1（2004年河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题）设点E、F、G、H分别在面积为1的四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，且＝＝＝＝k(k是正数），求四边形EFGH的面积。 解 连结AC，过点G作GP∥AC交 DH于点P，有. 由已知，则.于是有，从而. 又由于△DPG∽△DAC，我们有，故 因此 . ① 同理 . ② ①+②得： . 连结BD，同理可证. 所以 。 例2（第三届“希望杯”全国数学邀请赛试题）正方形如图所示, AB＝1, BD与AC都以1为半径的圆弧, 则无阴影的两部分的面积之差是( ) (A) (B)1－ (C) (D)1－ 解 设无阴影的两部分的面积分别为P,Q，有阴影的两部分的面积都为M，则P＋Q＋2M正好是正方形的面积，P＋M是圆的面积。于是得方程组 ①② ① ② 由②，得2P＋2M＝ ③ ③－①，得P－Q＝。 故无阴影的两部分的面积之差是。故选A。 评注 从方程组无法求得P、Q的值，但经过方程式的整体变形可以求得P－Q＝，这就是解答的巧妙之处。 例3（第3届全国部分省市初中数学通讯赛试题）圆内接八边形的四条边长为1，另四条边长为2.求此八边形的面积. 解 由弓形面积公式知所求的八边形的面积与八边形各边排列的顺序无关. 不妨设八边形ABCDEFGH（如图），且有AB=CD=EF=GH=2，BC=DE=FG=HA=1.双向延长AH、BC、DE、FG得正方形KLMN. 故 S八边形ABCDEFGH=S正方形KLMN-4S△ABK = 例4（2000年上海市高中理科班、数学班招生选拔测试数学试题）在凸四边形ABCD中,M是AB的中点,O是对角线AC与BD的交点,延长MO与CD交于Q点,求证: . 证明 ==。 因M是AB的中点,故S△AOM=S△BOM， AO?MOsin∠AOM =BO?MOsin∠BOM, 即AOsin∠AOM =BOsin∠BOM，。 所以 == 故。 例5 在平行四边形ABCD中, E为AD上的一点, F为AB上一点, 且BE＝DF,BE 与DF交于G.，求证：∠BGC＝∠DGC 分析 本题结论即为证CG是∠BGD的平分线, 联想到“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”，于是引CP⊥DF，CQ⊥BE，由已知条件：BE＝DF，四边形ABCD为平行四边形，用面积法可以叩开题解之门. 证明 如图, 连接CE、CF, 作CQ⊥BE，Q为垂足，作CP⊥DF，P为重垂足，于是有S△BCE＝S△CDF＝BE·CQ，S△COF＝DF·CP，BE＝DF， ∴CQ＝CP，∴点C在∠BGD的角平分线上，故∠BGC＝∠DGC. 例6 (1996年上海市初中数学竞赛试题)如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，＝，点M在边AB上，使，点N在边CD上，使线段MN把梯形分成两部分的面积之比为3：1，求. 解 连接CM、CA. ∵,∴. ∴. ∵, ∴＝2,∴S△ABC＝S梯形ABCD. ∴SMBC＝S△ABC＝S梯形ABCD＞ S梯形ABCD. ∴MN把梯形分成两部分的面积的比, 只能是 。也就是 S四边形MBCN＝S梯形ABCD, S四边形AMND＝ S梯形ABCD. 若连结DM、DB，用同样的方法求得 S△AMD＝S△ABD＝×S梯形ABCD＝S梯形ABCD. ∴S△MCN＝(－) S梯形ABCD＝S梯形ABCD, ∴S△MDN＝(－) S梯形ABCD＝S梯形ABCD. ∴. 评注 这道题首先应该考虑MN把梯形分成两部分的面积之比是＝还是＝，还是两者都有可能，因此求出S△MBC＝S梯形ABCD，从而排除了