第九章 偏微分方程差分方法汇总（修订版）.doc

PAGE . 第9章 偏微分方程的差分方法 含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。 9.1椭圆型方程边值问题的差分方法 9.1.1 差分方程的建立 最典型的椭圆型方程是Poisson（泊松）方程 （9.1） G是x,y平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f(x,y)≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件 第一边值条件 （9.2） 第二边值条件 （9.3） 第三边值条件 （9.4） 这里，n表示Γ上单位外法向，α(x,y),β(x,y),γ(x,y)和k(x,y)都是已知的函数，k(x,y)≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u(x,y)称为椭圆型方程边值问题的解。 用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u(x,y)在区域G的一些离散节点（xi，yi）上的近似值ui,j≈(xi，yi）。差分方法的基本思想是，对求解区域G做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。 设G={0xa, 0yb}为矩形区域，在x,y平面上用两组平行直线 x=ih1, i=0,1,…,N1, h1=a/N1 y=jh2, j=0,1,…,N2, h2=b/N2 将G剖分为网格区域，见图9-1。h1，h2分别称为x方向和y方向的剖分步长，网格交点（xi，yi）称为剖分节点（区域内节点集合记为Gh={（xi，yi）; （xi，yi）∈G}）,网格线与边界Γ的交点称为边界点，边界点集合记为Γh。 现在将微分方程（9.1）在每一个内节点（xi，yi）上进行离散。在节点（xi，yi）处，方程（9.1）为 （9.5） 需进一步离散（9.5）中的二阶偏导数。为简化记号，简记节点（xi，yi）=(i,j)，节点函数值u（xi，yi）=u(i,j)。利用一元函数的Taylor展开公式，推得二阶偏导数的差商表达式 代入（9.5）式中，得到方程（9.1）在节点(i,j)处的离散形式 其中。舍去高阶小项，就导出了u(i,j)的近似值ui,j所满足的差分方程 （9.6） 在节点(i,j)处方程（9.6）逼近偏微分方程（9.1）的误差为，它关于剖分步长是二阶的。这个误差称为差分方程逼近偏微分方程的截断误差，它的大小将影响近似解的精度。 在差分方程（9.6）中，每一个节点(i,j)处的方程仅涉及五个节点未知量ui,j，ui+1,j，ui-1,j，ui,j+1，ui,j-1，因此通常称（9.6）式为五点差分格式，当h1= h2=h时，它简化为 差分方程（9.6）中，方程个数等于内节点总数，但未知量除内节点值ui,j ,(i,j)∈Gh外，还包括边界点值。例如，点(1,j)处方程就含有边界点未知量u0,j。因此，还要利用给定的边值条件补充上边界点未知量的方程。 对于第一边值条件式（9.2），可直接取ui,j=α（xi，yi）， (i,j)∈Γh （9.7） 对于第三（k=0时为第二）边值条件式（9.4）， 以左边界点(1,j)为例，见图9-2, 利用一阶差商公式 则得到边界点(0,j)处的差分方程 （9.8） 联立差分方程（9.6）与（9.7）或（9.8）就形成了求解Poisson方程边值问题的差分方程组，它实质上是一个关于未知量{ui,j}的线性代数方程组，可采用第2，3章介绍的方法进行求解。这个方程组的解就称为偏微分方程的差分近似解，简称差分解。 考虑更一般形式的二阶椭圆型方程 （9.9） 其中A(x,y)≥Amin0, B(x,y) ≥Bmin 0, E(x,y) ≥0。引进半节点 利用一阶中心差商公式，在节点（i,j）处可有 对类似处理，就可推得求解方程（9.9）的差分方程 （9.10） 其中 （9.11） 显然，当系数函数