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13.4 课题学习 最短路径问题 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？ 两点之间,线段最短 ① ② ③ (Ⅰ)两点在一条直线异侧 已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。 P 连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。 思考？？？ 为什么这样做就能得到最短距离呢？ 根据：两点之间线段最短. 　我们还学过此类最路程的问题吗？现实生活中经常 涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探 究数学史中著名的“将军饮马问题”． 引入新知 　　问题1　相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题： 　　从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？ 探索新知 B A l 　　精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”． 　　你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 探索新知 B A l 　　追问1　这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 　　将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线． 探索新知 B · · A l （1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和； 探索新知 　　追问2　你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ 探索新知 　　追问2　你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， 　　 AC 与CB 的和最小（如图）． B A l C 　　追问1　对于问题2，如何 将点B“移”到l 的另一侧B′ 处，满足直线l 上的任意一点 C，都保持CB 与CB′的长度 相等？ 探索新知 　　问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · l A · 　　追问2　你能利用轴对称的 有关知识，找到上问中符合条 件的点B′吗？ 探索新知 　　问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · l A · 　　作法： （1）作点B 关于直线l 的对称 点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交 于点C． 则点C 即为所求． 探索新知 　　问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · l A · B′ C 探索新知 　　问题3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ B · l A · B′ C 　　证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′． 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴　AC +BC = AC +B′C = AB′， AC′+BC′ = AC′+B′C′． 探索新知 　　问题3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ B · l A · B′ C C′ 探索新知 　　问题3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ B · l A · B′ C C′ 　　证明：在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴　AC +BC＜AC′+BC′． 　　即　AC +BC 最短． 　　若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小． 探索新知 B · l A · B′ C C′ 　　追问1　证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？ 探索新知 　　追问2　回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？ B · l A · B′ C C′ 1. 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平