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利用导数研究方程的根
函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤
第一步:画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;
第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系;
第三步:解不等式(组)即可;
1、已知函数.
(Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;
(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线有唯一公共点.
【答案】解:(Ⅰ) f (x)的反函数,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=.
.过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1
(Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点,过程如下.
因此,
所以,曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).(证毕)
2、已知函数(,为自然对数的底数).
(1)求函数的极值;
(2)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.
(1),
①当时,,为上的增函数,所以函数无极值.
②当时,令,得,.
,;,.
所以在上单调递减,在上单调递增,
故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.
综上,当时,函数无极小值;
当,在处取得极小值,无极大值.
(2)当时,.
直线:与曲线没有公共点,
等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:
(*)
在上没有实数解.
①当时,方程(*)可化为,在上没有实数解.
②当时,方程(*)化为.
令,则有.
令,得,
当变化时,的变化情况如下表:
当时,,同时当趋于时,趋于,
从而的取值范围为.
所以当时,方程(*)无实数解,
解得的取值范围是.
综上,得的最大值为.
3、已知函数,,且在区间上为增函数.
求实数的取值范围;
若函数与的图象有三个不同的交点,求实数的取值范围.
解:(1)由题意 ∵在区间上为增函数,
∴在区间上恒成立
即恒成立,又,∴,故∴的取值范围为
(2)设,
令得或由(1)知,
①当时,,在R上递增,显然不合题意…
②当时,,随的变化情况如下表:
—
↗
极大值
↘
极小值
↗
由于,欲使与的图象有三个不同的交点,即方程有三个不同的实根,故需,即 ∴,解得
综上,所求的取值范围为
4、 已知函数是实数集R上的奇函数,函数是区间[一1,1]上的减函数.
(I)求a的值;
(II) 若在x∈[一1,1]上恒成立,求t的取值范围.
(Ⅲ) 讨论关于x的方程的根的个数。
解:(I)是奇函数,则恒成立. (II)又在[-1,1]上单调递减,
令
则.
(III)由(I)知
令,,
当上为增函数;
上为减函数,
当时,而,
、在同一坐标系的大致图象如图所示,
∴①当时,方程无解. ②当时,方程有一个根.
③当时,方程有两个根.
5、.已知函数且在上的最大值为,
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在(0,π)内的零点个数,并加以证明。
(I)在上恒成立,且能取到等号
在上恒成立,且能取到等号
在上单调递增
(II)
①当时,在上单调递增
在上有唯一零点
②当时,当上单调递减
存在唯一使
得:在上单调递增,上单调递减
得:时,,
时,,在上有唯一零点
由①②得:函数在内有两个零点。
6、已知函数在点处取得极小值-4,使其导数的的取值范围为,求:
(1)的解析式;
(2)若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.
解:(1)由题意得:
∴在上;在上;在上
因此在处取得极小值
∴①,②,③
由①②③联立得:,∴
(2)设切点Q,
过
令,
求得:,方程有三个根。
需:
故:;因此所求实数的范围为:
7、已知(为常数)在时取得一个极值,
(1)确定实数的取值范围,使函数在区间上是单调函数;
(2)若经过点A(2,c)() HYPERLINK 可作曲线的三条切线,求的取值范围.
解:(1)∵函数在时取得一个极值,且,
, .
或时,或时,时,
, 在上都是增函数,在上是减函数. ∴使在区间上是单调函数的的取值范围是
(2)由(1)知.设切点为,则切线的斜率,所以切线方程为:. 将点代人上述方程,整理得:.
∵经过点可作曲线的三条切线,∴方程有三个不同的实根. 设,则
,在上 HYPERLINK 单调递增,在上单调递减,在上单调递增, 故 得:.
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