第6讲函数的奇偶性和周期性.docVIP

PAGE 第9讲 函数的奇偶性、周期性 【考点解读】 理解函数奇偶性的概念，掌握函数奇偶性的判定方法及图象特征，并能运用这些知识分析、解决问题。 理解函数周期性与对称性的概念，会用定义验证函数的周期性。 能综合运用函数的奇偶性、周期性及对称性解题。 【知识扫描】 奇函数、偶函数的概念 函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，一般地,如果对于函数的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么函数就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数的定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数就叫做奇函数. 定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件。 2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是: （1）考查定义域是否关于原点对称； （2）考查表达式是否等于或-： 若=-，则为奇函数； 若=，则为偶函数； 若=且=,则既是奇函数又是偶函数； 若）≠-且≠，则既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数. 为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式: =±±=0 =±1(≠0). 3.奇、偶函数的性质 （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称. （2）若一个奇函数在处有定义，那么；如果一个函数既是奇函数又是偶数，则其值域为。 （3）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反。 （4）在定义域的公共部分内，两个奇（偶）函数之和、差为奇（偶）函数；两奇（偶）函数之积（商）为偶函数；一奇一偶函数之积（商）为奇函数。（注：取商时，应使分母不为0） （5）复合函数的奇偶性 由两个函数，复合而成的复合函数，只要其中有一个是偶函数，其复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，其复合函数是奇函数。 周期函数的定义 对于函数，如果存在一个常数非零，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么是周期函数。是它的周期。 注意：必须对定义域内的任意自变量恒成立。 5.判断函数是周期函数的常见结论：（） 若函数满足对定义域内任一实数， = 1 \* GB3 ①以为周期。 = 2 \* GB3 ②以为周期。 = 3 \* GB3 ③以为周期。 6.函数对称性的性质： （1）的图象关于直线对称。 （2）一般地，若，则函数的对称轴方程是。 （3）的图象关于点成中心对称。 （4）函数关于及对称，则以为周期。 【考计点拨】 牛刀小试： 1．】已知函数是奇函数，则实数a=______________。 【答案】 【命题意图】本题主要考查奇函数的概念。 【解析】由奇函数定义有得，故。 2.若是上周期为5的奇函数，且满足，则（ ） A．－1 B.1 C.－2 D 【答案】A 【解析】=+= 3. (湖南省长沙一中2012届高三上学期月考)定义在R上的函数是减函数，且函数的图象关于（1，0）成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是 4．①函数与是同一函数； ②若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称； ③若奇函数对定义域内任意x都有，则为周期函数。 其中真命题是 A. ①② B. ①③ C.②③ D. ② 【答案】C 【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除A、B，验证③, ,又通过奇函数得，所以f（x）是周期为2的周期函数，选择C。 ③若奇函数对定义域内任意都有,则为周期函数． 其中真命题是 A．①② B．①③ C．②③ D．② 【答案】C 【解析】考虑定义域不同，①错误；排除A、B，验证③, ,又通过奇函数得，所以f（x）是周期为2的周期函数，选择C。 5. 是定义在上的以3为周期的奇函数,且=0,则方程在区间(0,6)内解的个数是_____个. 【答案】7 【解析】因为=0,, =0, =0, 是定义在上的奇函数,故,,取得,故,故方程在区间(0,6)内解的个数是7个. 考点一 函数的奇偶性及其应用 例1：判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3)（4）= 解析：判断函数的奇偶性，首先要求出函数的定义域，看定义域是否关于原点对称.然后利用定义判断，寻找和的关系. ①由可得，所以函数的定义域是 定义域关于原点不对称，故该函数是非奇非偶函数. ②，且，定义域关于原点对称，原函数可化简为， 由= 所以函数为奇函数. ③ 因为f(－x)= =－f(x)， 故f(x)为奇函数 （4）对于三角形1+sinx+cosx，当x=时，其值为2，当x=-时，其值为零，由此1可知原函数=的定义域中包含x=，但是不包含x=-，所以定