整理高中函数值域的求法.docx

PAGE PAGE 1 高中函数值域的求法 题型一　求函数值：特别是分段函数求值 例1　已知f(x)＝eq \f(1,1＋x)(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R). (1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f[g(3)]的值. 解　(1)∵f(x)＝eq \f(1,1＋x)，∴f(2)＝eq \f(1,1＋2)＝eq \f(1,3). 又∵g(x)＝x2＋2， ∴g(2)＝22＋2＝6. (2)∵g(3)＝32＋2＝11， ∴f[g(3)]＝f(11)＝eq \f(1,1＋11)＝eq \f(1,12). 反思与感悟　求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f[g(x)]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f[g(x)]与g[f(x)]的区别. 跟踪训练4　已知函数f(x)＝eq \f(x＋1,x＋2). (1)求f(2)；(2)求f[f(1)]. 解　(1)∵f(x)＝eq \f(x＋1,x＋2)，∴f(2)＝eq \f(2＋1,2＋2)＝eq \f(3,4). f(1)＝eq \f(1＋1,1＋2)＝eq \f(2,3)，f[f(1)]＝f(eq \f(2,3))＝eq \f(\f(2,3)＋1,\f(2,3)＋2)＝eq \f(5,8). 5.已知函数f(x)＝x2＋x－1. (1)求f(2)，f(eq \f(1,x))； (2)若f(x)＝5，求x的值. 解　(1)f(2)＝22＋2－1＝5， f(eq \f(1,x))＝eq \f(1,x2)＋eq \f(1,x)－1＝eq \f(1＋x－x2,x2). (2)∵f(x)＝x2＋x－1＝5，∴x2＋x－6＝0， ∴x＝2，或x＝－3. 4.函数f(x)对任意自然数x满足f(x＋1)＝f(x)＋1，f(0)＝1，则f(5)＝________. 答案　6 解析　f(1)＝f(0)＋1＝1＋1＝2，f(2)＝f(1)＋1＝3， f(3)＝f(2)＋1＝4，f(4)＝f(3)＋1＝5，f(5)＝f(4)＋1＝6. 二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 求值域问题 利用常见函数的值域来求（直接法） 一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}； 二次函数的定义域为R， 当a0时，值域为{}；当a0时，值域为{}. 例1 求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1x1) ② ③ （记住图像） 解：①∵-1x1，∴-33x3， ∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5] ②略 ③ 当x0，∴=， 当x0时，=－ ∴值域是[2，+).（此法也称为配方法） 函数的图像为： 二次函数在区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①； ②； ③； ④； 解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R， ∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y-3 }. ②∵顶点横坐标2[3,4]， 当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； ∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1]. ④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数, ⑴若定义域为R时， ①当a0时，则当时，其最小值； ②当a0时，则当时，其最大值; ⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若[a,b],则是函数的最小值（a0）时或最大值（a0）时， 再比较的大小决定函数的最大（小）