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第三章 直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
【知识点归纳】
1.直线的倾斜角:
2.直线的斜率:
3.直线的斜率公式:
【典型例题】
题型 一 求直线的倾斜角
例 1 已知直线的斜率的绝对值等于,则直线的倾斜角为( ).
A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150°
变式训练:
设直线过原点,其倾斜角为,将直线绕原点沿逆时针方向旋转45°,得到直线,则的倾斜角为( )。
A. B. C.
D. 当0°≤α<135°时为,当135°≤α<180°时,为
题型 二 求直线的斜率
例 2如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°,求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.
变式训练: 已知过两点, 的直线l的倾斜角为45°,求实数的值.
题型 三 直线的倾斜角与斜率的关系
例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3,则( ).
A .k1<k2<k3 B. k3<k1<k2 C. k3<k2<k1 D. k1<k3<k2
拓展 一 三点共线问题
例4 已知三点A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数a的值.
变式训练:
若三点P(2,3),Q(3,),R(4,)共线,那么下列成立的是( ).
A. B. C. D.
拓展 二 与参数有关问题
例 5 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与线段AB始终有公共点,求直线的斜率的取值范围.
变式训练:
已知两点,直线过定点且与线段AB相交,求直线的斜率的取值范围.
拓展 三 利用斜率求最值
例 6 已知实数、满足当2≤≤3时,求的最大值与最小值。
变式训练: 利用斜率公式证明不等式:且
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
【知识点归纳】
1.直线平行的判定
2.两条直线垂直的判定(注意垂直与x轴和y轴的两直线):
【典型例题】
题型 一 两条直线平行关系
例 1 已知直线经过点M(-3,0)、N(-15,-6),经过点R(-2,)、S(0,),试判断与是否平行?
变式训练:经过点和的直线平行于斜率等于1的直线,则的值是( ).
A.4 B.1 C.1或3 D.1或4
题型 二 两条直线垂直关系
例 2 已知的顶点,其垂心为,求顶点的坐标.
变式训练:(1)的倾斜角为45°,经过点P(-2,-1)、Q(3,-6),问与是否垂直?
(2)直线的斜率是方程的两根,则的位置关系是 .
题型 三 根据直线的位置关系求参数
例 3 已知直线经过点A(3,a)、B(a-2,-3),直线经过点C(2,3)、D(-1,a-2),
(1)如果//,则求a的值;(2)如果⊥,则求a的值
题型 四 直线平行和垂直的判定综合运用
例4 四边形ABCD的顶点为、、、,试判断四边形ABCD的形状.
变式训练:已知A(1,1),B(2,2),C(3,-3),求点D,使直线CD⊥AB,且CB∥AD.
探点 一 数形结合思想
例 5 已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点,分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.
(1)证明:点C、D和原点O在同一直线上. (2)当BC平行于x轴时,求点A的坐标.
探点 二 分类讨论思想
例6 的顶点,若为直角三角形,求m的值.
3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程
【知识点归纳】
1.直线的点斜式方程:
2.直线的斜截式方程:
【典型例题】
题型 一 求直线的方程
例1 写出下列点斜式直线方程: (1)经过点,斜率是4;(2)经过点,倾斜角是.
例 2 倾斜角是,在轴上的截距是3的直线方程是 .
变式训练:
1. 已知直线l过点,它的倾斜角是直线的两倍,则直线l的方程为
2. 已知直线在轴上的截距为-3,且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6,求直线的方程.
3.将直线绕它上面一点(1,)沿逆时针方向旋转15°,得到的直线方程是 .
题型 二 利用直线的方程求平行与垂直有关问题
例 3 已知直线的方程为的方程为,直线与平行且与在轴上的截距相同,求直线的方程。
探究 一 直线恒过定点或者象限问题
例 4. 已知直线.
(1)求直线恒经过的定点;
(2)当时,直线上的点都在轴上方,求实数的取值范围.
探究 二 直线平移
例 5 已知直线l:y=2x-3 ,将直线l向上平移2个单位长度,再向右平移4个单位
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