《概率论》总复习提纲【精选】.doc

O(∩_∩)O ang《概率论与数理统计》总复习提纲 第一块 随机事件及其概率 内 容 提 要 基本内容：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，概率的概念和基本性质，古典概率，几何概率，条件概率，与条件概率有关的三个公式，事件的独立性，贝努里试验. 1、随机试验、样本空间与随机事件 （1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为. 试验可在相同的条件下重复进行； 每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果； 每次试验前不能确定哪一个结果会出现. （2）样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合称为的样本空间记为Ω；试验的每一个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为. （3）随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的子集，必然事件（记为）和不可能事件（记为）. 2、事件的关系与运算 （1）包含关系与相等：“事件发生必导致发生”，记为或；且. （2）互不相容性：；互为对立事件且. （3）独立性： （1）设为事件，若有，则称事件与相互独立. 等价于：若(). （2）多个事件的独立：设是n个事件，如果对任意的，任意的，具有等式，称个事件相互独立． 3、事件的运算 （1）和事件（并）：“事件与至少有一个发生”，记为. （2）积事件（交）：“ 事件与同时发生”，记为或. （3） 差事件、对立事件(余事件)：“事件发生而不发生”，记为称为与的差事件；称为的对立事件；易知：. 4、事件的运算法则 1) 交换律：，； 2) 结合律：，； 3) 分配律：，； 4) 对偶(De Morgan)律：，， 可推广 5、概率的概念 （1）概率的公理化定义：（了解） （2）频率的定义：（了解）事件在次重复试验中出现次，则比值称为事件在次重复试验中出现的频率，记为，即. （3）概率的统计定义：（了解）频率具有稳定性，即随的增大越来越靠近某个常数，称为事件的（统计）概率. 在实际问题中，当很大时，取 （4）古典概率（有限等可能型）： 若试验的基本结果数为有限个，且每个事件发生的可能性相等，则（试验对应古典概型）事件发生的概率为： . （5）几何概率（无限等可能型）：（了解）若试验基本结果数无限，随机点落在某区域g的概率与区域g的测度(长度、面积、体积等)成正比，而与其位置及形状无关，则（试验对应几何概型），“在区域中随机地取一点落在区域中”这一事件发生的概率为： . （6）主观概率：（了解）人们根据经验对该事件发生的可能性所给出的个人信念. 6、概率的基本性质 （1）不可能事件概率为零： . （2）有限可加性：设是n个两两互不相容的事件，即，（），则有＝＋. （3）单调不减性：若事件，且 . （4） 互逆性：且. （5） 加法公式：对任意两事件，有－；此性质可推广到任意个事件的情形. （6）可分性：对任意两事件，有，且 7、条件概率与乘法公式 （1）条件概率：设是两个事件，若则 称为事件发生的条件下事件发生的条件概率． （2）乘法公式：设则 . 称为事件的概率乘法公式.其可推广成有即个的情形,详见书上第16页，其主要的意义在说明了前面的事件对后面的事件发生的概率产生影响. 8、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式 （1）全概率公式：设是的一个划分，且，，则对任何事件，有 称为全概率公式. 应用背景：若影响某一事件（“结果”）发生有几种不同的情况（“原因”），那么计算结果的概率就要用全概率公式, 相当于其是由原因计算结果. （2）贝叶斯(Bayes)公式：设是的一个划分，且，则对任何事件，有 称为贝叶斯公式或逆概率公式. 应用背景：若影响某一事件（“结果”）发生有几种不同的情况（“原因”），那么若告诉你结果已发生，那么要计算某一种情况（“原因”）发生的概率时，就要用到贝叶斯公式，相当其主要的应用是要由结果计算原因. 9、贝努里(Bernoulli)概型 （1）只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为．也叫做“成功—失败”试验,“成功”的概率常用表示，其中＝“成功”. （2）把重复独立地进行次，所得的试验称为重贝努里试验，记为． （3）把重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记为．以上三种贝努里试验统称为贝努里概型． （4）中成功次的概率是：其中. 疑 难 分 析 1、必然事件与不可能事件 必然事件是在一定条件下必然发生的事件，不可能事件指的是在一定条件下必然不发生的事件.它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的方便，把它们看作特殊的随机事件. 2、互逆事件与互斥（不相容）事件 如果两个事件与必有一个事件发生，且至多有一个事件发生，则、