正项级数收敛性判别法的研究 .doc

【标题】正项级数收敛性判别法的研究 【作者】袁 艳 【关键词】正项级数??收敛??发散??判别法 【指导老师】邓 淙 【专业】数学与应用数学 【正文】1.引言?正项级数的收敛性判别，是数学分析中一个重要而有趣的课题。在数学分析的一些常用教材中，仅讲述了少数几种正项级数敛散性判别法。要对正项级数进行更为深入的研究，教材上的知识就显得比较单薄。目前，不少文献对正项级数敛散性判别法作了许多研究，其中有的对原有的判别法作了推广，有的对p?级数的敛散性作了更为深入的研究，也有的文献提出了正项级数新的敛散判别法，取得了一些较好的成果。但这些文献都散布于各种期刊，有待归纳整理和推广。这些文献说明，虽然正项级数是数学分析的古典内容，但只要进行认真的分析研究，仍然可以发现更好的判别其敛散性的新方法。对于原有的方法，也还可以进一步挖掘它们的潜力，使其发挥更大的作用。本文主要对散布于各种文献中原有的和新建立的正项级数判别法作系统的归纳整理，以数学分析的有关知识为工具，结合典型实例对几种常用判别法的原理和效力作出深入的论述和比较。2．级数的基本知识2.1基本理论????级数基本理论是正项级数收敛性判别法的基础和出发点，为了行文的需要，这里就级数基本理论作一概括。2.1.1?级数收敛的基本概念???对无穷项级数?，其第n个部分和?，若?时，部分和数列?有有限或无穷极限?：?则称?为级数的和，若级数具有有限和，则称级数为收敛的；否则，即级数和等于?或不存在，则称级数为发散的。2.1.2??基本性质（1） 改变级数前面的有限项，级数的敛散性不变。（2） 若级数?收敛，则它的余项?；（3） 若级数?收敛，?是任意常数，则?；（4） 若?和?都收敛，则?；2.1.3柯西收敛准则[1]????级数?收敛的充要条件是：对任意的?，都存在正整数?，使得当?时，对一切正整数?，下列不等式成立：?.柯西收敛准则只根据级数自身的特征就可以判断其收敛性，这就从理论上完全解决了级数收敛性的判别问题。2.1.4级数收敛的必要条件级数?收敛的必要条件是?.2.2?正项级数2.2.1基本概念各项均为非负数的级数????????式（2—1）称为正项级数。2.2.2正项级数收敛的充要条件正项级数?收敛的充要条件是其部分和数列有界。以上结果从理论上看是十分完美的；但从应用的角度，要想直接应用这些结果去判断某一级数的收敛性又往往是十分困难的，因为这些结果所要求的条件都是抽象的而非具体的，这就还要求针对具体级数的具体判断法进行研究。3?正项级数敛散性判别法?正项级数的收敛或发散常常可以通过跟另一已知收敛或发散的级数对比来确定。把这一思想精确表达出来就是比较原则。以比较原则为依据，从纵向看，现已建立起许多精细程度不断提高的一系列判别法；从横向看，在每一精细程度上又发展了不同形式的判别法以用于不同类型的级数，下面先就常见的有关判别法作一归纳：3.1常见的正项级收敛性判别法比较判别法Ⅰ[1]???设除级数?外，还有级数??????????????????????????式?(3—1)若当? N时，不等式?成立，则1）从级数?的收敛可推得级数?收敛；2)从级数?发散可推得级数?发散。特别是，当?时，若?则正项级数?和?同时收敛或同时发散。比较判别法Ⅱ[1]?若当?时，有?成立，则1）从级数?的收敛可推得级数?收敛；2)从级数?发散可推得级数?发散。达朗贝尔判别法[1]?若??且?则 1)当?时级数?收敛；2)当?时，级数?发散。柯西判别法[1]若?且?则，1)当?时级数收?敛； 2)当?时,级数发?散。拉贝判别法[1]若?且?则 1)当?时级数?收敛；2)当?时,级数发?发散。对数判别法[2]?若?且?则 1)?当?时级数收?敛；2)?当?时,级数?发散。高斯判别法[1]??若?????及?,其中?而?.则 1)当?时，级数收?敛； 2)当?时，级数?发散。?? 3)当?，若?时级数?收敛；若?时,级数?发散。库默尔判别法[2]若??及?,其中?，?且级数?发散。则，1）当?时级数?收敛；2）当?时级数?发散。柯西积分判别法[1]若f(x)?(x0)是非负的不增函数，则级数?与?同时收敛或同时发散。Bertrand判别法[1]若??及?.则1)当?时级数?收敛；2)当?时,级数?发散。Cauchy凝聚法[1]设数列?非负且单调递减，则级数?与?同时收敛或同时发散。4．正项级数敛散性判别法的推广????近年来，一些文献对正项级数的古典判别法作了深入研究，在此基础上,并将原有的判别法作出了推广。下面我们介绍其中的两种。4.1双比值