理数导数压轴题：极值点偏移问题的不等式解法.docVIP

极值点偏移问题的不等式解法 我们熟知平均值不等式： 即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值” 等号成立的条件是. 我们还可以引入另一个平均值：对数平均值： 那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式 ， 以下简单给出证明： 不妨设，设，则原不等式变为： 以下只要证明上述函数不等式即可. 以下我们来看看对数不等式的作用. 题目1：（2015长春四模题）已知函数有两个零点，则下列说法错误的是 A. B. C. D.有极小值点，且 【答案】C 【解析】函数导函数： 有极值点，而极值，，A正确. 有两个零点：，，即： = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 1 \* GB3 ①- = 2 \* GB3 ②得： 根据对数平均值不等式： ，而， B正确，C错误 而 = 1 \* GB3 ①+ = 2 \* GB3 ②得：，即D成立. 题目2：（2011辽宁理）已知函数. 若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明： 【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问： 设，，，则， = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 1 \* GB3 ①- = 2 \* GB3 ②得：，化简得： = 3 \* GB3 ③ 而根据对数平均值不等式： = 3 \* GB3 ③等式代换到上述不等式 = 4 \* GB3 ④ 根据：（由 = 3 \* GB3 ③得出）∴ = 4 \* GB3 ④式变为： ∵，∴，∴在函数单减区间中，即： 题目3：(2010天津理)已知函数 .如果，且. 证明：. 【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问： 设，则，，两边取对数 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 1 \* GB3 ①- = 2 \* GB3 ②得： 根据对数平均值不等式 题目4：（2014江苏南通市二模）设函数 ，其图象与轴交于两点，且. 证明：（为函数的导函数）. 【解析】根据题意：，移项取对数得： = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 1 \* GB3 ①- = 2 \* GB3 ②得：，即： 根据对数平均值不等式： ， = 1 \* GB3 ①+ = 2 \* GB3 ②得： 根据均值不等式： ∵函数在单调递减 ∴ 题目5：已知函数与直线交于两点. 求证： 【解析】由，，可得： = 1 \* GB3 ①， = 2 \* GB3 ② = 1 \* GB3 ①- = 2 \* GB3 ②得： = 3 \* GB3 ③ = 1 \* GB3 ①+ = 2 \* GB3 ②得： = 4 \* GB3 ④ 根据对数平均值不等式 利用 = 3 \* GB3 ③ = 4 \* GB3 ④式可得： 由题于与交于不同两点，易得出则 ∴上式简化为: ∴