1.逆序数与行列式（一）.pdfVIP

n阶行列式 一、全排列与逆序数 1.全排列 n个不同的元素排成一列，称为n个元素的 全排列。如76532184，等等 均为8个元素的全排列。 n个元素的全排列共有n ！个。 •2.逆序与逆序数 • 全排列123 ···n称为标准排列,此时元素 之间的顺序称为标准顺序。在任一排列 中，若某两个元素的顺序与标准顺序不 同，就称这两个元素构成了一个逆序。 213 中，2与1就构成了一 个逆序。321 中，1与2， 2与3，1与3都构成逆序。 • 在一个排列中，逆序的总和称为逆序 数。如213的逆序数为1，321 的逆序 数为3 。 • 逆序数怎样求??? •从第一个元素起，该元素前 有几个数比它大，这个元素的逆序就 是几。将所有元素的逆序相加，即得 到排列的逆序数。 例1.求全排列135···(2n-1)24···(2n)逆序数。 解: 1,3,5,···(2n-1)不构成逆序. 2前面有n-1个数比它大,故有n-1个逆序. 4前面有n-2个数比它大,故有n-2个逆序. 依次下去, 2n前面没有数比它大,故没有逆序. 将所有元素的逆序相加,得逆序数: 1+2+3+ ···+(n-1)= n(n-1)/2 • 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆 序数为偶数的排列称为偶排列。如: 对换有两个性质: • 在3个元素的全排列中，123，231， 1.任意一个排列经一次对换后 312为偶排列，逆序数分别为0,2,2. 改变奇偶性. • 132，213，321为奇排列,逆序数分别为 1，1，3. 2.在n个元素的全排列中,奇偶 • 3.对换 排列各占一半,为n!/2. • 在一个排列中，任意对调两个元素， 其余元素不变，即得到一个新排列， 这样一种变换称为对换。 a a a 11 12 13 a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 a a a 21 22 23 a a a a a a a a a 13 22 31 11 23 32 12 21 33 a a a 31 32 33 由三阶行列式可得如下结论 (1) a1j 1 a2j 2 a3j 3 N为j j j 1 2 3 a a a 11 12 13 （2）a21 a22 a23 (1)N a1j 1 a2 j 2 a3j 3 对1，2 ，3的全 排列求和 a a a