悖论对数学发展的影响.pdfVIP

第 23 卷第 4 期 　 　　　　　　　　　　　　　　　　河池师专学报 　　　　　　　　　　　　　　　Vol. 23 No . 4 2003 年 12 月 　　　　　　　　　　　　　 Dec . 2003 J OU RNAL OF HECHI NORMAL COLL E GE 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 悖论对数学发展的影响 1 2 黄燕玲 ,代贤军 ( 1. 河池学院　数学系 , 广西 　宜州 　546300 ;2 . 月里中学 , 广西 　南丹 , 　5472 19) [摘 　要] 　通过对数学史上一些重要悖论的分析说明“悖论的产生 ———悖论的解决 ———新悖论的产生”这个循环过程是 数学思想和方法获得重大发展的过程 。 [ 关键词] 　悖论 ;数学危机 ;集合论 [ 中图分类号] 　O144 . 2 　　　[文献标识码] 　A 　　　[文章编号] 　1005 - 765 (2003) 04 - 0062 - 03 1 　什么是悖论 悖论也叫逆论或反论 ,指自相矛盾的荒谬结论 。它包括一切与人的直觉 、经验或客观事实相违背的种种 ( ) ( ) ( ) 问题或论述 。悖论有 3 种主要形式 : 1 一种论断看起来好象肯定错了 ,但实际上却是对的 佯谬 ; 2 一种 ( ) ( ) 论断好象是对的 ,但实际上却错了 似是而非的悖论 ; 3 前提并没有明显错误 ,经过一系列推理好象无懈可 ( ) 击 ,可却得出两个互相矛盾的结论 逻辑悖论 。 在数学发展的过程中 ,人的认识是不断深化的 ,在不同的历史阶段 ,人的认识具有一定的片面性和相对 性就会出现“悖论”。在破解悖论秘密的过程中 ,会完成和发展许许多多对数学来说很重要的课题 ,导致数学 思想和方法的重大发展 。 2 　一些重要的悖论 2 . 1 　毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机 早在公元前 500 年 ,在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派把对宇宙的理解数字化 ,认为“万物 ( ) 皆数”,而数只有两种 ,就是正整数和可通约的数 两个整数的比 ,不再有别的数 。毕氏学派成员发现并证明 ( ) 了毕达哥拉斯定理 勾股定理 且发现了这样一种情况 :“当直角三角形的两条边相等时 ,斜边是存在的 ,但斜 边的长度是不可公约的数”。他们自己用归谬法证明了这一点 ,用现代符号写出的证明是 : 设 Rt △A B C ,两直角边 a = b ,则由毕氏定理有 c2 = 2 a2 ,设已将 a 、c 中的公约数约去 ,于是 c 为偶 ( ) 2 2 2 2 数, a 为奇数, 令 c = 2 m , 则有 2 m = 2 a , a = 2 m , 于是 a 为偶数, 矛盾 。 这一发现震惊了整个学派 ,因为如果承认了这个结论 ,就会摧毁他们神圣的哲学信条 :“宇宙间一切现象 都归结为正整数或整数之比”,整数的尊崇地位受到挑战 ,影响到了数学的基础 。人们发现了无理数 ,又不敢 承认它是数 ,历史上称之为第一次数学危机 。这次危机反映出直觉和经验不一定靠得住 ,而推理证明才可 靠 ,从此希腊人开始由“自明的”公理出发 ,经过演绎推理 ,并由此建立几何体系 ,这无疑是数学思想上的一次 巨大革命 ,古典逻辑与欧氏几何就是第一次数学危机的产物 。第