2015清华大学数理体验营数学试题及解答.docVIP

PAGE \* MERGEFORMAT 2 2015清华大学数理体验营数学试题 1、已知函数f(x)=4sin3xcosx?2sinxcosx?cos4x （1）求f (x)的最小正周期及最大值； （2）求f (x)的单调区间． 2、设函数f (x)=(2x2?4ax)lnx+x2 （1）求函数f (x)的单调区间； （2）若不等式f (x)0对x?1恒成立，求a的取值范围． 3、袋中有若干枚均匀硬币，其中一部分是普通硬币，其余的两面均为正面，已知普通硬币占总硬币数的比例为θ(0θ1)．从袋中任取一枚硬币，在不查看它属于哪种硬币的前提下，将其独立地连掷两次． （1）以X记掷出的正面数，求X的分布列； （2）将上述试验独立重复地进行n次，以Y记这n次试验中不出现正面的次数，求Y的分布列． 4、已知椭圆L: 的离心率为，F1,F2分别为椭圆L的左右焦点，点(1, )在椭圆上，设A为椭圆L上一个动点，弦AB,AC分别过焦点F1,F2且 , （1）求椭圆L的方程； （2）求λ1+λ2的值； （3）求△F1AC的面积S的最大值． 5、已知数列{an}满足：an0，an+a2n+?+ann=, (n=1,2,?)证明： （1）anan+1 (n=1,2,?) ； （2）对于任意给定的0?1，总存在正整数m，当nm时，0an??． 6、已知集合 Sn={X|X=(x1,x2,?,xn),xi∈{0,1},i=1,2,?,n},n?2, 对于 A=(a1,a2,?,an)∈Sn,B=(b1,b2,?,bn)∈Sn, 定义A与B的差为 A?B=(|a1?b1|,|a2?b2|,?,|an?bn|), 且A与B之间的距离为 （1） 对任意A,B,C∈Sn，证明：d(A?C,B?C)=d(A,B)，且d(A,B)，d(A,C)，d(B,C)三个数中至少有一个是偶数； （2）设P?Sn，P中有m(m?2)个元素，记P中所有两元素间的距离的平均值为，证明：． （3）当n=3时，若M满足：M?S3且M中元素间的距离均为2，试写出含有元素个数最多的所有集合M． 2015清华大学数理体验营数学试题解答 1、（1）因为，所以的最小正周期为，最大值为． （2）的单调递增区间为,k∈Z． 2、（1）f′(x)=4(x?a)(1+lnx)． 当a?0时， f(x)在(0, )上单调递减，在(,+∞)上单调递增； 当0a时，f(x)在(0,a)和(,+∞)上单调递增，在(a, )上单调递减； 当a=时，f(x)在(0,+∞)上单调递增； 当a时，f(x)在(0, )(和(a,+∞)上单调递增，在(,a)上单调递减． （2）由(（1）可知，当a?1时，f(x)在[1,+∞)上单调递增，故只需满足f(1)0即可，而此时f(1)=10恒成立，所以a?1满足题意． 当a1时，只需满足 f(a)=a2(1?2lna)0, 即可，解得 1a 综上所述，若不等式f(x)0对?x∈[1,+∞)恒成立，则a的取值范围是(?∞, )． ? 3、（1）根据全概率公式可得分布列为 （2）根据二项分布的计算方式，可得分布列为 4、（1）椭圆L的方程为 （2）设A点坐标为(x1,y1)，B点坐标为(x2,y2)，C点坐标为(x3,y3)．由 可得 由椭圆的焦准性质可知，，将代入上式，可得λ1=2x1+3；同理，，将代入上式，可得λ2=?2x1+3． 所以λ1+λ2=6． （3）当直线AC的方程为x=1时，△F1AC的面积S取到最大值． 5、（1）若?k∈N+，使得0ak?ak+1，则 矛盾．所以anan+1(n=1,2,?)． （2）显然0an1(n=1,2,?)，故有 所以an1/3． 由于数列{an}单调递减有下界，所以n→∞时，数列{an}的极限存在．设 则 解得A=1/3． 所以对于任意给定的0ε1，总存在正整数m，当nm时，0an??． 6、(1)d(A?C,B?C)=d(A,B)显然成立． 因为(ai?bi)+(bi?ci)+(ci?ai)=0，而(ai?bi)+(bi?ci)+(ci?ai)与|ai?bi|+|bi?ci|+|ci?ai|的奇偶性相同，故d(A,B)+d(A,C)+d(B,C))是偶数．所以d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数． （2） 其中 表示P中所有两个元素间距离的总和． 设P中所有元素的第i个位置的数字中共有ti个1，m?ti个0，则 （3）S3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点．易知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点处．所以集合M={(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}，或M={(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)}．