高中数学第二章随机变量及其分布章末复习学案.docVIP

PAGE PAGE 1 第二章 随机变量及其分布 1．离散型随机变量及其分布列 (1)随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．通常用字母X，Y，ξ，η，…等表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量． (3)离散型随机变量的分布列： 一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2…，xi，…xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时为了简单起见，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列． (4)离散型随机变量的分布列的性质： ①pi≥0，i＝1，2，…，n； ②eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))pi＝1. (5)常见的分布列： 两点分布：如果随机变量X的分布列具有下表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率. X 0 1 P 1－p p 两点分布又称0－1分布，伯努利分布． 超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝eq \f(Ceq \o\al(k,M)Ceq \o\al(n－k,N－M),Ceq \o\al(n,N))，k＝0，1，2，…，m，即 X 0 1 … m P eq \f(Ceq \o\al(0,M)Ceq \o\al(n－0,N－M),Ceq \o\al(n,N)) eq \f(Ceq \o\al(1,M)Ceq \o\al(n－1,N－M),Ceq \o\al(n,N)) … eq \f(Ceq \o\al(m,M)Ceq \o\al(n－m,N－M),Ceq \o\al(n,N)) 其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布． 2．二项分布及其应用 (1)条件概率：一般地，设A和B是两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率． (2)条件概率的性质： ①0≤P(B|A)≤1； ②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0； ③如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． (3)事件的相互独立性：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．如果事件A与B相互独立，那么A与eq \o(B,\s\up6(－))，eq \o(A,\s\up6(－))与B，eq \o(A,\s\up6(－))与eq \o(B,\s\up6(－))也都相互独立． (4)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． (5)二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．两点分布是当n＝1时的二项分布，二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 3．离散型随机变量的均值与方差 (1)均值、方差：一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 称D(X)＝eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1)) (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，eq \r(D（X）)为随机变量X的标准差． (2)均值与方差的性质：若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b， D(aX＋b)＝a2D(X)． (3)常见分布的均值和方差公式：①两点分布：若随机变量X服从参数为p的两点分布，则均值E(X)＝p，方差D(X)＝p(1－p)． ②二项分布：若随机变量X～B(n，p)，则均值E(X)＝np，方差D(X)＝np(1－p)． 4．正态分布 (1)正态曲线与正态分布： ①正态曲线：我们把函数φμ，σ(x)＝eq \f(1,\r