数学选修2-1第一章常用逻辑用语典型例题含解析.docVIP

一．知识点回顾： 1、命题：可以判断真假的语句叫命题； 逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词； 简单命题：不含逻辑联结词的命题; 复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题. 常用小写的拉丁字母，，，，……表示命题. 2、四种命题及其相互关系 四种命题的真假性之间的关系： ⑴、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ⑵、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 3、充分条件、必要条件与充要条件 ⑴、一般地，如果已知，那么就说：是的充分条件，是的必要条件； 若，则是的充分必要条件，简称充要条件． ⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件与结论之间的关系： Ⅰ、从逻辑推理关系上看： ①若，则是充分条件，是的必要条件； ②若，但 ，则是充分而不必要条件; ③若 ，但，则是必要而不充分条件; ④若且，则是的充要条件； ⑤若 且 ，则是的既不充分也不必要条件. Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看： 已知满足条件，满足条件： ①若,则是充分条件； ②若,则是必要条件； ③若A B，则是充分而不必要条件; ④若B A，则是必要而不充分条件; ⑤若，则是的充要条件； ⑥若且，则是的既不充分也不必要条件. 4、复合命题 ⑴复合命题有三种形式：或（）；且（）；非（）. ⑵复合命题的真假判断 “或”形式复合命题的真假判断方法：一真必真； “且”形式复合命题的真假判断方法：一假必假； “非”形式复合命题的真假判断方法：真假相对. 5、全称量词与存在量词 ⑴全称量词与全称命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题. ⑵存在量词与特称命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题. ⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定 ①全称命题：，它的否定：全称命题的否定是特称命题． ②特称命题：，它的否定：特称命题的否定是全称命题. 二．典题训练： 【例1】　判断下列命题的真假． (1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题； (2)若0x5，则|x－2|3的否命题与逆否命题； (3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题． 【例2】　若p：－2a0,0b1；q：关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的正根，则p是q的什么条件？ 【例3】　设p：实数x满足x2－4ax＋3a20，a0. q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－80. 且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【例4】　写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)3＝2； (2)54； (3)对任意实数x，x0； (4)有些质数是奇数． 例5.已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－10有解；若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围． 例6.判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假． 例7.已知p：eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2；q：x2－2x＋1－m2≤0 (m0)，若綈p是綈q的必要非充分条件，求实数m的取值范围． 例8.已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件． 例题解析： 例1　解　(1)若x∈A∪B，则x∈B是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x∈B，则x∈A∪B，为真命题． (2)∵0x5，∴－2x－23， ∴0≤|x－2|3. 原命题为真，故其逆否命题为真． 否命题：若x≤0或x≥5，则|x－2|≥3. 例如当x＝－eq \f(1,2)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－2))＝eq \f(5,2)3. 故否命题为假． (3)原命题：a，b为非零向量，a⊥b?a·b＝0为真命题． 逆命题：若a，b为非零向量，a·b＝0?a⊥b为真命题． 否命题：设a，b为非零向量，a不垂直b?a·b≠0也为真． 例2　解　若a＝－1，b＝eq \f(1,2)，则Δ＝a2－4b0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，故pq.若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x1、x2，且0x1≤x21， 则x1＋x2＝－a，x1x2＝b. 于是0－a2,0b1， 即－2a0,0b1，故q?p. 所以，p是q的必要不充分条件． 【例3】解　设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a20，a0}＝{x|3axa，a0}． B