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湘教版九年级数学上册知识点归纳总结
九上
第一章 反比例函数
(一)反比例函数
1.()可以写成()的形式,注意自变量x的指数为,在解决有关自变
量指数问题时应特别注意系数这一限制条件; 2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而
得到反比例函数的解析式;(二)反比例函数的图象与性质1.函数解析式:()2.自变量的取值范围:3.图象:反比例函数的图象:在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,
且x应对称取点(关于原点对称). (1)图象的形状:双曲线越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直.越小,图象的弯曲度越大. (2)图象的位置和性质:自变量,函数图象与x轴、y轴无交点,两条坐标轴是双曲线的渐近线. 当时,图象的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y随x的增大而减小; 当时,图象的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y随x的增大而增大. (3)对称性:图象关于原点对称,若(a,b)在双曲线的一支上,(,)在双曲线的另一支上. 图象关于直线对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)和(,)在
双曲线的另一支上. 4.k的几何意义: 如图1,设点P(a,b)是双曲线上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB⊥y轴于B点,则矩形PBOA的面积是(三角形PAO和三角形PBO的面积都是). 如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC⊥PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为.
图1 图2
5.说明: (1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论.(2)直线与双曲线的关系:当时,两图象没有交点;当时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称.(三)反比例函数的应用 1、求函数解析式的方法:(1)待定系数法;(2)根据实际意义列函数解析式.
2、反比例函数与一次函数的联系. 3、充分利用数形结合的思想解决问题.
第二章 一元二次方程
(一)一元二次方程
1、只含有一个未知数的整式方程(分母不含未知数),且都可以化为(a、b、c为常 数,
a≠0)的形式,这样的方程叫一元二次方程。
2、把(a、b、c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般式,a为二次项系数;b为一次项系数;c为常数项(包括符号)。
(二)一元二次方程的解法
1、直接开平方法:如果方程化成的形式,那么可得;
如果方程能化成?(p≥0)的形式,那么进而得出方程的根。
2、配方法:配方式
基本步骤:①把方程化成一元二次方程的一般形式;②将二次项系数化成1;③把常数项移到方程
的右边;④两边加上一次项系数的一半的平方;⑤把方程转化成左边为一个完全平方式,
右边化为一个常数;两边开方求其根。
3、公式法 (注意在找a、b、c时须先把方程化为一般形式)
4、分解因式法 把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解。(主要包括“提公因式”
和“十字相乘”)
一元二次方程根的判别式
判别式⊿=b2-4ac与根的关系:
当b2-4ac0时,则方程有两个不等的实数根;
当b2-4ac=0时,则方程有两个相等的实数根;
当b2-4ac≥0时,则方程有两个实数根;
当b2-4ac0时,则方程无实数根
(,上述结论反之也成立,但注意都同时要满足二次项系数a≠0)
(四)一元二次方程根与系数的关系:
1、根与系数关系:如果一元二次方程的两根分别为x1、x2, 则有:
.(韦达定理)
2、一元二次方程的两根与系数的关系的作用:
(1)已知方程的一根,求另一根;
(2)不解方程,求二次方程的根x1、x2的对称代数式的值,特别注意以下公式:
① ② ③
④ ⑤
⑥ ⑦其他能用或表达的代数式。
(3)已知方程的两根x1、x2,可以构造一元二次方程:,
(4)已知两数x1、x2的和
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