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第一章 极限、连续与间断 本章主要知识点 求极限的几类主要题型及方法 连续性分析 间断判别与分类 连续函数的介值定理及应用 一、求极限的七类题型 求极限问题归纳为七类主要题型，这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达法则，变限积分）再作相应介绍。 （1）题型I 　　方法：上下同除以的最高次幂 例1.1． 解：原式 例1.2． 解：原式=12 例1.3． 解：原式=== 例1.4． 解：原式= == 例1.5． 解：原式==1 （2）题型II 原式= 例1.6． 解：原式=1/2 例1.7． 解：原式= 例1.8． 解：原式=== 例1.9． 解：令，原式=＝ 例1.10. 解：a+2+b=0, 原式= a=2,b=-4 （3）题型III 若，有界 例1.11. 解：因为　＝０，而有界 所以 原式＝０。 例1.12． 解：因为　（），有界， 　　所以　原式＝０． 例1.13． 解　因为　，有界； 　 所以 原式＝０。 （4）题型IV 识别此类题型尤为重要，主要特征为未定式．步骤如下： 例1.14． 解：原式＝＝ ＝． 例1.15． 解：原式＝ 　　　　＝　　　 例1.16． 解：原式= （5）题型V 等价无穷小替换 替换公式： 替换原则：乘除可换，加减忌换。 例1.17． 错解：=0 例1.18． 解：原式==-20 例1.19． 解：原式== 例1.20． 解：令，则 原式＝＝ ＝＝ 例1.21． 解：原式= 例1.22. 解：原式= 例1.23. 解：原式= 例1.24. 解：原式= == （6）题型VI 洛必达法则（见导数相关内容）； （7）题型VII 变上限积分有关积分（见积分相关内容）； 二、极限应用—连续性分析 定义： 变形：,其中分别表示左、右极限。 例1.25．，若在处连续，求。 解：，故 例1.26．，若在处连续，求 解： 由得： 故为任意实数 例1.27．，其中为有界函数，问在是否连续？ 解：因为 所以，在处连续。 例1.28．在可能连续吗？ 解：， 不论取何值，均不能连续。 三、极限应用—间断识别及分类 1．识别方法：可能间断点应是其定义域中不能取值的端点或分段点。 2．分类方法： （a），为可去间断； （b），为第一类间断，或称跳跃型间断； （c）、至少有一个不存在，为第二类间断； 特别地，若左右极限中至少有一为，则为第二类无穷间断。 例1.29． 解：间断点为，，, 对于， ,因为，所以为可去间断。 对于，当，即，，可去间断； 对于，当，即，,可去间断； 当，，为第Ⅱ类无穷间断。 例1.30． 解：间断点，0 ， 。 在为Ⅱ类无穷间断。 ，x=0为可去间断点。 例1.31． 解： 定义域为 。 间断点为 。 因为， 所以均为的Ⅱ类无穷间断。 例1.32． 解： 定义域为，间断点为 对于，，为第Ⅱ类无穷间断； 对于， ，为第Ⅱ类间断。 注：对仅考虑了其一个单侧极限。 例1.33． 解：间断点是：，x=0是可能间断点。 对于x=0，f(0+0)=,f(0-0)=,x=0为第Ⅱ类间断； 对于为第Ⅱ类间断； 对于x=2,f(2-0)=0,f(2+0)=，为第Ⅱ类间断。 注：分段函数左右支分别识别，分段点单独考虑。 四、连续函数介值定理 定理：在闭区间内连续，且，则在至少有一零点，即存在，使得。 应用此定理需要注意以下几点： (0) 如何定义。 区间的选择，在证明题过程中，有明确的线索。 验证在闭区间上的连续性， 验证在两端的符号。 此定理不能确定是否具有唯一零点，但有唯一性的要求时，应验证 在内的单调性（参见导数应用部分） 例1.34．证明：在内有一实根 证：构造， 易知在上连续，且，，故 ， 由连续函数介值定理知，在有实根，即命题得证。 例1.35．证明至少有一正根 证明：令， 在内连续，且， 由闭区间连续函数介值定理得，在至少有一根，即命题得证。 五、数列极限 定理：对充分大的n成立，，如果， 那么 。 例1.36． 解：因为， ， 所以，原式=1/2。 单元练习题1 1．，则 。 2．如果，在处连续，则 。 3．与等价无穷小， ，。 4．与是等价无穷小， ，。 5．的间断点为 。 6．，则，。 7．在下列极限中，正确的是（ ） A． B． C． D．