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§ 3.2 柯西积分定理 实变函数的线积分: 若D为单连通区域,P(x,y),Q(x,y)在 D具有一阶连续偏导数,则 再由Green公式知道 问题:复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)满足什么条件在单连 通区域D内沿闭路径的积分为零? 要使 只要 这只须u与v具有一阶连续偏导数且ux=vy, uy=-vx. Cauchy： 若f(z)在单连通区域D内解析,且f(z)连续,则对D内任意闭曲线C有 Cauchy-Coursat定理: 若f(z)在单连通区域D内解析,则对D内任意闭曲线C有 二、原函数与不定积分 推论：如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, C属于D， 与路径无关仅与起点和终点有关。 其中C： 。 固定z0,z1=z在D内变化,于是 在D内确定了关于z的单值函数: 变上限积分。 定理2 如果函数 f (z)在单连通域D内解析, 则F(z) 在D内也是解析的，且 证明： 因f(z)在D内解析，故f(z)在D内连续 特别地 定义：若在单连通区域D内恒有F(z)=f(z),则称F(z)为f(z)的一个原函数.f(z)的原函数的全体称为f(z)的不定积分,记为 解析函数的原函数仍为解析函数 例题1 C 如图所示： 存在 f (z)的解析单连通域D包含曲线 C ，故积分与路径无关，仅与起点和终点有关。 解： 从而 这里D为复连通域。 可将柯西积分定理推广到多连通域的情况，有 定理2 假设C及C1为任意两条简单闭曲线, C1在C内部,设函数 f (z)在C及C1所围的二连域D内解析, 在边界上连续，则 证明：取 这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。 ------闭路变形原理 推论（复合闭路定理）： (互不包含且互不相交)， 所围成的多连通区域， 例题2 C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。 解： （由闭路变形原理） 从以上例子可以看出，复合闭路定理可以把沿任意简单闭曲线上的积分化为以所围奇点为中心的圆周上的积分，也就是说，闭曲线任意变形，只要在变形过程中不经过函数f(z)的奇点，则不会改变解析函数沿闭曲线的积分值，这种性质称为闭路变形原理。 谢谢！
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