全等三角形拓展题---尖子生专用.docxVIP

全等三角形综合应用 知识点： 全等三角形的判定方法： 角平分线的性质与判定： 例题讲解 2016武汉江汉区压轴题．（本题12分）△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是△ABC的中线，以AC为边作等边△ACE，BE分别与直线AD、AC交于点F、G，连接CF (1) ① 如图1，若△ABC、△ACE位于AC异侧，求∠EFC的度数 ② 试判断线段EF、DF、AF之间的数量关系，并说明理由 (2) 若△ABC、△ACE位于AC同侧，试完成备用图，并直接写出线段EF、DF、AF之间的数量关系 解：(1) ① ∵AB＝AE，∴设∠ABE＝∠AEB＝α ∵AB＝AC，AD是△ABC的中线 ∴设∠BAD＝∠CAD＝β 又2α＋2β＋60°＝180°，α＋β＝60° ∴∠AFE＝∠DFC＝α＋β＝60° ∴∠EFC＝180°－60°－60°＝60° ② 过点C作CH⊥BE于H ∵∠AEB＋∠AEC＝60°，∠ABE＋∠BAD＝60° ∴∠BAD＝∠HEC 可证：△ABD≌△EHC（AAS） ∴HE＝AD 易证：△CFH≌△CFD（AAS） ∴FH＝DF ∴EF－FH＝AF－DF 即EF－AF＝2DF (3) 作图、证明的过程一样 AF－EF＝2DF 2016武珞路中学．（本题10分）已知等边三角形ABC，M为AB上的一点，以CM为边作等边△CMN，连接BN (1) 求证：AM＝BN (2) 作MH⊥BC于H，连接AH．若AH∥MN，AM＝1，求CH的长 证明：(1) △ACM≌△BCN（SAS） (2) 由(1)知：△ACM≌△BCN ∴∠CBN＝∠MAC＝60° ∴∠MBN＝60°＋60°＝120 过点M作MD∥BC交AC于D ∴△AMD为等边三角形 ∴AM＝AD＝BN，∠ADM＝60° ∴BM＝CD，∠MDC＝120° 在△BMN和△DCM中 ∴△BMN≌△DCM（SAS） ∴∠BMN＝∠DCM ∵AH∥MN ∴∠BMN＝∠BAH＝∠DCM 在△BAH和△ACM中 ∴△BAH≌△ACM（ASA） ∴BH＝AM＝1 ∴BM＝HC ∵MH⊥BC，∠MBH＝60° ∴BM＝2BH＝2 ∴CH＝2 2016武珞路中学．（本题10分）如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向外作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F (1) 若AF＝10，DF＝3，试求EF的长 (2) 若以AB为边向内作等边△ABE，其它条件均不改变，请用尺规作图补全图2（保留作图痕迹），找出EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论 ．解：(1) 设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β 在△ACE中，2α＋60＋2β＝180°，α＋β＝60° 连接BF ∴∠BFD＝∠CFD＝60° ∴BF＝CF＝2DF＝6 在EC上截取EG＝CF，连接AG ∴△AEG≌△ACF（SAS） ∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF ∴∠GAF＝60° ∴△AFG为等边三角形 ∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC＝10＋6＝16 (2) 尺规作图：先作AB的垂直平分线，再利用半径得到等边 设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β ∴∠CAE＝180°－2β ∴∠BAE＝2α＋180－2β＝60°，β－α＝60° ∴∠BAD＝∠BEF 在AF上截取AG＝EF，连接BG 可知：△ABG≌△EBF（SAS） ∴AG＝EF，BG＝BF ∴△BFG为等边三角形 ∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF 武汉二中广雅中学2016．（本题12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0＜α＜60°），以线段BC为边在△ABC内作等边△DBC (1) 如图1，∠ABD＝_______（用含α的式子表示） (2) 如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明 (3) 在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值 例1、（1）在⊿ABC中，∠B=∠C，与⊿ABC全等的三角形有一个角是130°，那么⊿ABC中与这个角对应的角是（ ）A、∠A B、∠B