第一章-随机事 件及概率-2.docVIP

第一章????????? 随机事件及概率 第二部分 ? 一、 一袋中有7个白球和5个红球，从中摸取二次，每次一球。设 表示“两次都取到红球”， 表示“至少一次取到红球”。请在（1）有放回抽样（2）不放回抽样条件下求 。（有放回抽样、不放回抽样） 解：显然袋中有12个球。 （1）???? 有放回抽样时，样本点总数为 ， 中样本点数为 ，于是 。 又设 表示“恰有一次取到红球”，则 且 与 不相容，而 中样本点数为 个，从而 。 （2）???? 不放回抽样时，样本点总数为 ， 中样本点总数为 ，故 。又 中样本点数为 ，故 。 二、 古典概型的典型例题1。（例题、古典概型） 从6双不同的鞋子中任取4只，问其中至少一双配对的概率是多少？ 解：这可有以下两种解法。设A=“至少一双配对”，则 ＝“4只全不配对”。 法一：不考虑顺序，利用组合数来作。样本点总数为 ，要 发生，可以先从6双中取出4双，再每双取一只，故所求概率为 。 法二：可以设想4只鞋子是一只一只地取出，要求有顺序，即12个元素每次取一个作不放回抽样的排列，样本点总数为 ，要 发生，可以先从12只鞋子中取出一只，再从10只里选一只，再从8只里选一只，最后再从6只中选一只，故所求概率为 。 注：本题的两种解法来自于对样本空间的不同理解，计算事件中所含样本点数必须在确定的样本空间中进行，否则容易发生错误。 三、 古典概型的典型例题2。（例题、古典概型） 袋中有7只红球，5只白球，不放回地陆续取出3球，求： （1）???? 顺序为红、白、红地概率； （2）???? 有2只红球的概率。 解：（1）样本空间点数为12个球中取出3个的排列 ，以 表示（1）所求事件，则要 发生，应有 种选择，故 ， （2）放回地抽取3次，每次一球，在不要求顺序条件下，与一次性取出3球等价，故可用超几何分布公式求解，所求概率为 。 四、 古典概型的典型例题3。（例题、古典概型、对立事件、全排列） 某市的电话号码是一个8位数，设0－9这10个数字在每位数种出现是等可能的，求以下概率： （1）???? 8位数全不同的概率； （2）???? 至少有两个数字相同的概率； （3）???? 恰好有二个位置上号码相同而其它位置上号码各自不同的概率。 解：可把这个问题看成如下模型：袋中装有0－9号共10个小球，有放回地抽取10次，每次一球作排列，样本点总数为 ，于是 （1）???? 问的概率为 ； （2）???? 问所求事件与（1）问互为对立事件，故概率为 ； （3）???? 设 ＝“恰好两个位置上号码相同”，意味着其它位置上没有相同号，可以这样安排：取两个位置（ ），取一个数（ ）安排到这两个位置上，其余6个位置由9个剩下的数字作全排列，即 。 五、 古典概型的典型例题4。（例题、古典概型、全排列） 把10本书任意放在书架上，求指定的一套三卷本书按次序放在一起的概率。 解：样本点总数显然为10本书的全排列 。设 为所求事件，要 发生，可以把所指定的一套三卷本书按次序放在一起，从左到右或从右到左为1、2、3、卷共2种选择，然后把这一套书看成是一个整体，与其余7本作全排列，故有 。 六、 古典概型的典型例题5。（例题、古典概型、对立事件、加法公式） 从1－2000中随机地取一整数，问取到的数不能被5或6整除的概率是多少？ 解：设 分别表示所取数“能被5整除”，“能被6整除”，以及“不能被5或6整除”，则有 ，于是 ， 其中，由于 ，故 ； 又 ，即1－2000中共有333个数能被6整除，故 ； 而一个数要能被5及6整除，就相当于能被其最小公倍数30整除，而 ，即1－2000中有66个数能被6和5整除。从而， ，代入上面的表达式中可得 。 注：应注意对立事件及加法公式的应用，把 转化为 ，是一种常用的方法。 七、 古典概型的典型例题6。（例题、古典概型、事件运算） 某考察团100人中有42人会讲英语，38人会讲日语，29人会讲日语和英语，9人会讲俄语、英语和日语，且每人至少会讲英语、日语、俄语3种语言中的一种，若从中任选一人，（1）求此人会讲英语和日语，但不会讲俄语的概率；（2）此人只会讲俄语的概率。 解：以 分别表示事件“此人会讲英语”，“此人会讲日语”，“此人会讲俄语”，则由假设知 ， ，且 。 （1） （2） 八、 古典概型的典型例题8。（例题、古典概型） 一个班共有学生50人，他们之中至少有两人在同一天生日的可能性是多少？ 解：由于每个人都可能在一年365天中任何一天出生（即生日等可能分布于365天），所以有 种可能结果。50个人生日都不相同（即任何两个都不相同）的可能情况有 种。因此 ，故 。一般地，有如下地计算公式 。 我们留下