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第四章 不定积分 一、不定积分的概念和性质 1．原函数：若，则称为的一个原函数． 2．不定积分：若，则． 3．不定积分的基本性质： （1） 或 ； （2） 或 ． 例1 （1）若是的一个原函数，求； （2）若是的一个原函数，求； （3）若是的一个原函数，求； （4）若，求； （5）求； （6）若，求． 解 （1）因为，所以 ． （2）因为，所以 ． （3）因为，则，所以 ． （4）因为，所以 ． （5）． （6）． 二、直接积分法 被积函数经过恒等变形后，能用基本积分公式和不定积分的性质计算不定积分的方法，称为直接积分法． 例2 计算下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）． 解 （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． （7） ． （8） ． （9） ． 三、换元积分法 1．第一换元积分法（凑微分法） 设，则 ． 常用的凑微分公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）； （16）； （17）． 注 = 1 \* GB3 ①结合导数、微分基本公式理解这些凑微分公式及后面例题中出现的较复杂凑微分公式； = 2 \* GB3 ②熟练掌握这些常用的凑微分公式和熟记基本积分公式； = 3 \* GB3 ③分部积分法中也会用到凑微分公式． 例3 计算下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）． 解（1）． （2） ． （3） ． （4） ． 注 注意区分以上积分中的幂指数为奇数或偶数时的解法．若将换为，解法相同． （5）． （6） ． （7） ． （8） ． （9）． （10）被积函数的分子、分母同除以，得 ． （11） ． （12） ． （13） ． 注 与三角函数有关的积分中，常常使用半角公式和积化和差公式以降低三角函数的幂指数，简称降幂法．是常用的积分方法． （14）． （15） ． *例4 计算下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 解 （1）因为，所以 ． （2）因为，所以 ． （3） ． （4）因为，所以 ． （5）因为，所以 ． （6）被积函数的分子、分母同除以，得 ． （7）因为，所以 ． 2．第二换元积分法 设，则 ． 注 （1）当被积函数中含有根式时，一般要通过适当换元，去掉根号后再积分，这是第二换元积分法的主要作用．常见的代换有： = 1 \* GB3 ①含有形如的根式时，作代换； = 2 \* GB3 ②含有形如、、（）的根式时，分别作三角代换：，，； （2）当被积函数中分母关于的次数比分子关于的次数至少大时，可考虑倒代换：； （3）当被积函数为所构成的代数式时，可考虑指数代换：． 例5 计算下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 解 （1）设，则，，， 于是 ． （2）设，则，，于是 ． （3）设，则，，，于是 ． （4）设，则，于是 ． 由得 ，， 所以 ． （5）设，则，于是 ． 由于，所以 ． （6）设，则，于是 ． 由得 ，，， 所以 ． 例6 计算下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 解 （1）令，则，于是 ． （2） ． （3） ． （4）令，则，于是 ． （5）令，则，于是 ． 例7 计算下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4）． 解 （1） ． （2） ． （3） ． （4） ． ． 注 例7（2）中使用加项、减项的方法，（3）、（4）中是将分母有理化．若利用第二换元积分法求解，计算过程较烦琐，读者自行验证． 四、分部积分法 设、都是可微函数，且、都有原函数，则 ， 简写为． 注 （1）应用分部积分公式的关键，是正确选择和．一般把六种基本