立体几何典型例题精选(含答案).docVIP

立体几何专题复习 热点一：直线与平面所成的角 例1．（2014，广二模理 18） 如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，∥平面， ，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正切值. 变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形中，是的中点， 将左图沿直线折起，使得二面角为如右图. 求证：平面 求直线与平面所成角的余弦值. 变式2：[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图1-5所示． (1)求证：AB⊥CD； (2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值． 热点二：二面角 例2．[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF； (2)求二面角D - AF - E的余弦值． 变式3： [2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A -BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝eq \r(2). (1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B - AD - E的大小． 变式4：[2014·全国19] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1 (1)证明：AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为eq \r(3)，求二面角A1 -AB -C的大小． 热点三：无棱二面角 例3．如图三角形BCD与三角形MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，. （1）求点A到平面MBC的距离； （2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值. 变式5：在正方体中，，，且，． 求：平面AKM与ABCD所成角的余弦值． 变式6：如图是长方体，AB＝2，，求二平面与所成二面角的正切值． 高考试题精选 1．[2014·四川，18] 三棱锥A - BCD及其侧视图、俯视图如图1-4所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP. (1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角A - NP - M的余弦值． 　 2．[2014·湖南卷] 如图所示，四棱柱ABCD -A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B (1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值． 3．[2014·江西19] 如图1-6，四棱锥P - ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD. (1)求证：AB⊥PD. (2)若∠BPC＝90°，PB＝eq \r(2)，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P - ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值． 立体几何专题复习 答案 例1.（2014，广二模） （1）证明：取的中点，连接，则， ∵∥平面，平面，平面平面， ∴∥，即∥. ……………1分 ∵ ∴四边形是平行四边形. ……………2分 ∴∥，. 在Rt△中，，又，得. ∴. ……………3分 在△中，，，， ∴， ∴. ……………4分 ∴，即. ∵四边形是正方形， ∴. ……………5分 ∵，平面，平面， ∴平面. ……………6分 （2）证法1：连接，与相交于点，则点是的中点， 取的中点，连接，， 则∥，. 由（1）知∥，且， ∴∥，且. ∴四边形是平行四边形. ∴∥，且 .……………7分 由（1）知平面，又平面， ∴.