《线段的垂直平分线》典型例题.docVIP

典型例题 例1．如图，已知：在中，，，BD平分交AC于D. 求证：D在AB的垂直平分线上. 分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明即可. 证明：∵，（已知）， ∴ （的两个锐角互余） 又∵BD平分（已知） ∴ . ∴（等角对等边） ∴D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 例2．如图，已知：在中，，，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F。 求证：。 分析：由于，，可得，又因为EF垂直平分AB，连结AF，可得. 要证，只需证，即证就可以了. 证明：连结AF， ∵EF垂直平分AB（已知） ∴（线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等） ∴（等边对等角） ∵（已知）， ∴（等边对等角） 又∵（已知）， ∴（三角形内角和定理） ∴ ∴ ∴（直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） ∴ 说明：线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得，初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理，容易舍近求远，由三角形全等来证题. 例3．如图，已知：AD平分，EF垂直平分AD，交BC延长线于F，连结AF。 求证：。 分析：与不在同一个三角形中，又，所在的两个三角形不全等，所以欲证，不能利用等腰三角形或全等三角形的性质. 那么注意到EF垂直平分AD，可得，因此，又因为，，而，所以可证明. 证明：∵EF垂直平分AD（已知）， ∴（线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等）. ∴（等边对等角） ∵（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， ， 又（角平分线定义）， ∴ 说明：运用线段的垂直平分线的定理或逆定理，能使问题简化，如本例题中，EF垂直平分AD，可以直接有结论，不必再去证明两个三角形全等. 例4．如图，已知直线和点A，点B，在直线上求作一点P，使. 分析：假设P点已经作出，则由，那么根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知，点P在线段AB的垂直平分线上. 而点P又在直线上，则点P应是AB的垂直平分线与垂线的交点。 作法：1．连结AB. 2．作线段AB的垂直平分线，交直线于点P. 则P即为所求的点. 说明：在求作一个点时，要考虑该点具备什么样的特点，如它到一条线段的两个端点距离相等，它就在连结这两点的线段的垂直平分线上，如果它到一个角的两边的距离相等，它就在这个角的平分线上.