高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)-（二）.pdfVIP

高等数学求极限的14 种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 lim f (x) A ， x x 0 （i）若A  0 ，则有  0 ，使得当0 | x x0 | 时，f (x) 0 ； （ii）若有  0, 使得当0 | x x0 | 时，f (x) 0,则A 0 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为x  时函数的极限和x x0 的极限。要特别注意判定极 限是否存在在：   （i）数列 x 收敛于a的充要条件是它的所有子数列均收敛于 a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于 a 的 n 充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a” （ii）lim f (x) A  lim f (x) lim A x  x  x  (iii)lim f (x) A  lim lim A   x x0 x x0 x x0 (iv)单调有界准则 （v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ） 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 lim f (x) 存在的充分必要条件是： x x0 o  0, 0,使得当x 、x U (x )时，恒有| f (x ) f (x ) | 1 2  0 1 2 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。 ．． 2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋 近情况下的极限，数列极限的 n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假 如告诉f （x）、g （x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0 比0”或“无穷大比无穷大”, 并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3 种情况： 0  （i）“ ”“ ”时候直接用 0  (ii) “0  ”“ ”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 1 1 项之后，就能变成(i)中的形式了。即f (x)g (x) f (x) 或f (x)g (x) g (x) ； g (x)  f (x) 1 1 f (x) g (x) 1 g (x) f (x) f (x)g (x) 00  0