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第3讲-初等函数
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第3讲 初等函数
【知识梳理】
1.指数与对数的运算性质:
(1)指数式与对数式的互化:
。
(2)对数的运算性质:
①恒等式:;。
②; ; 。
③换底公式及推论:
;; ; 。
2. 指数函数与对数函数的图象和性质:
图 象
定义域
值 域
过定点
单调性
点拨:与互为反函数,其图象关于对称。
3. 幂函数()
在一象限的图像
奇偶性
在上的单调性
当时:
②当时:
③当时:
当时:
, 增
, 增
②当时:
【典例精析】
例1. (1)若用和表示=
(2)已知,则_______
(3)已知函数若互不相等,且,
则的取值范围是 .
例2.比较大小:
(1)
(2);
(3)设,比较的大小;
例3.已知且,求证:。
例 4.对任意,都有,求实数的取值范围。
例5. 已知函数
(1)若的定义域为,求实数的取值范围;
(2)若的值域为,求实数的取值范围;
(3)若在内为增函数,求实数的取值范围
例6.已知函数,,,且,
(Ⅰ)求、的解析式;
(Ⅱ)为定义在上的奇函数,且满足下列性质:①对一切实数恒
成立;②当时.
(ⅰ)求当时,函数的解析式;
(ⅱ)求方程在区间上的解的个数.
【过关精练】
一、选择题
1.下列函数中,是幂函数的是( )
A. B. C. D.
2.设 是奇函数,则使 的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.若函数,当时,恒有,则( )
A.在上是增函数 B.在上是减函数[来源:Zxxk.Com]
C. 在上是增函数 D. 在上是减函数
4.已知定义域为的函数在上为减函数,且函数为偶函数,
则( )
A. B. C. D.
5. 对函数.给出以下四个结论:①有且只有一个零点;
②有且只有两个零点;③有且只有三个零点;④的最小零点在区
间内. 其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.函数的定义域是全体实数,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题
7.已知集合, ,若 ,则实数的取值范
围是________.
8.函数在上恒有,则实数的取值范围为
9.已知三个函数,,的零点依次为,则 的大小关系是
10.已知函数,当时,有意义,则实数的取值集合是________
三、解答题
11.已知函数的定义域为,并满足以下三个条件:①对于一切实数,都有; ②对任意的; ③;
(Ⅰ) 求的值,并判断的单调性;
(Ⅱ)若对任意的恒成立,求实数的取值范围。
12.已知函数
(Ⅰ)是否存在实数,使函数是上的奇函数,若不存在,说明理由,若存在,求函数的值域;
(Ⅱ) 探索函数的单调性,并利用定义加以证明。
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