第8讲-指数函数-对数函数和幂函数.docVIP

第8讲 指数函数、对数函数和幂函数 竞赛热点 1．指数函数的定义：函数叫做指数函数。 （1）自变量出现在指数位置上，函数定义域是R； （2）常数满足且； （3）函数都不是正整数指数函数。 2．指数函数的图象和性质： 图象 性质 定义域：R 值域： 图象过点，即当时， 在R上是增函数 在R上减函数 （1）函数和的图象关于轴对称； （2）右图为四个指数函数的图象，则 3．对数函数的定义：函数叫做对数函数；它是指数函数的反函数。 对数函数的定义域为，值域为 4．对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域：R 过点即当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 在上是增函数 在上是减函数 （1）函数和的图象关于轴对称； （2）右图为四个指数函数，，，的图象，则 解题示范 1．若集合非空，则实数的取值范围为 。 A． B． C． D．以上答案均不对 思路分析：设，则问题转化为二次方程在限定区间有根的问题。 解令，则问题转化淡关于的方程…①在区间内至少有一实根。 从反而考虑方程在内没有实数根的情形。考虑到，故不可能有两根均小于2或者大于4的情形，则必有一根大于4，一根小于2， 又因为故可得 一地是方程①在内有实根等价于 点评：此题也可以考虑运用分离参数法求解。 ，于是题设等价于，其中Z为函数的值域。 例2：不等式的解集是 。 思路分析：此题属于含有绝对值号的不等式，可以借助于区间讨论的方法求解。若抓住题目的特点，运用绝对值不等式中取到不等式的条件，则可大大简化求解过程。 解：当与异号时，有，则必有，从而，解出所以不等式的解集为 引申：不等式；；； 例3：已知函数，将的图象向右平移两个单位，得到函数，而函数与函数的图象关于直线对称，求函数的解析式。设，若已知的最小值是，且，求实数的取值范围。 解：显然 设点是函数上任意一点，点关于的对称点是由于函数与函数的图象关于直线对称，所以点在函数的图象上，也即 所以 于是 要求的取值范围，可以通过构造关于的不等式来获得解答。若先求出的最小值，再令其大于即可。为求的最小值，注意到的表达式形同，所以可以考虑从（即和）的正负入手。 （i）当，即，由的值域均为可得.这与矛盾； （ii）当，即时，是R上的增函数，此时无最小值，与题设矛盾； （iii）当，即时，是R上的减函数，此时也无最小值，与题设矛盾。 所以由（i）（ii）（iii）可得，当，即时， ， 等号当且仅当，即时成立. 由及可得 解得 引申：视函数的解析式为方程，则函数的图象即为方程的曲线，于是函数和解析几何取得了联系。从这个角度来讲，解析几何中研究曲线与方程的许多方法可以移植到函数中，反过来，在许多时候，函数的知识也可以指导解析几何问题的解决。涉及函数的问题曾在高考和竞赛中多次出现，望能熟练掌握其下述性质：①当时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为和；②当时，函数在和上单调递增。 本题的第（2）小题也可以从另一个角度考虑：“的最小值是且”，也就是说恒成立。 例4：已知且，试求使方程有解的的取值范围。 解：由对数函数的性质可知，原方程的解应满足 ①② ① ② ③ 当①、②同时成立时，③显然成立，因此只需联立解①、②即可。 由①得 ④ 当时，由可知④无解，因而原方程无解。 当时，④的解为， ⑤ 将⑤代入②得 当时得，即. 当时得，即 综合可得时原方程有解。 点评：原方程等价于，记 。则是双曲线在双曲线上方的部分，其渐近线为，是一条在轴上截距为的直线，且平行于双曲线的一条渐近线，当与有公共点时原方程有解，于是可以借助于图象得知，或由得或 即当时原方程有解。 例5：已知，其中 （1）求出的反函数； （2）若实数满足，求的取值范围。 思路分析：欲求，需先求出的定义域和值域；求解不等式 时，若能论证出为奇函数，并探讨出的单调性，则可以摆脱符号的束缚。 解：（1）由于，所以函数的定义域为R。 令，则在上单调递增，此时的取值范围为 当时，， 因此若令，则 由，则可知，此时的取值范围为 又时，，所以函数的值域为 所以函数的值域为R。 再设，则，利用与互为倒数，可得，所以.所以 （2）首先考察的奇偶性与单调性。任取，则 ，所以函数为奇函数。 任取且，则由及指数函数的性质可知， 所以，即，所以在定义域内单调递增。 于是由得， 即 结合的单调性可知，上式等价于， 解得或 点评：①定义域是研究函数的基础，求值域、判断奇偶性、单调性、研究函数图象等都应先从定义域出发。②从定义域出发，利用函数的单调性，是求函数值域的常用方法。 例6：已知函数，对定义域内的任意都有成立。 （1）求实数的值； （2）若当时，的取值范围恰为，求实数的值。 思路分析：按照方程的观点分析，根据已知条件即可建立关于的一元方程，从而求得. 第（2）问实质上是一个值域的问题，可以通