第4节-全概率公式与贝叶斯公式.pptVIP

练习： * 第四节 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用 加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互不相容 乘法公式 P(AB)= P(A) P(B | A) P(A)0 Ω A1 A2 A3 A4 A6 A7 A5 A8 B 由概率的可加性及乘法公式, 有 这个公式称为全概率公式，它是概率论的基本公式. 全概率公式 利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分别求概率然后求和． 例1 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为30％、 20％、 50％,且三家工厂的次品率分别为 3％、3％、 1％，试求市场上该品牌产品的次品率. 设A1、A2 、A3分别表示买到一件甲、乙、丙的产品； B表示买到一件次品， 解 加权平均 显然A1、A2 、A3 构成一个完备 事件组， 由题意有 由全概率公式， 例2 袋中有a个白球b个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为多少？ 解 分别记A,B为第一次、第二次摸到白球， 由全概率公式, 解 例3 袋中有a个白球b个黑球，分别以A,B记第一次、第二次摸得白球，(1)采用有放回摸球；(2)采用无放回摸球，试分别判断A,B的独立性. (1) 有放回摸球, 所以A,B相互独立. 全概率公式 (2) 无放回摸球, 所以A,B不相互独立. 在上面例1中，如买到一件次品，问它是甲厂生产的概率为多大？这就要用到贝叶斯公式. (贝叶斯公式) 定理 贝叶斯公式 该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因Ak的概率. 贝叶斯 Thomas Bayes，英国数学家，1702年出生于伦敦，做过神甫. 1742年成为英国皇家学会会员. 1763年4月7日逝世. 贝叶斯在数学方面主要研究概率论. 他对统计推理的主要贡献是使用了“逆概率”这个概念, 在1763年提出了著名的贝叶斯公式. 所以这件商品最有可能是甲厂生产的. 例4 已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、50％, 次品率分别为3％、3％、1％.如果买了一件商品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别为多少? 0.3, 0.2, 0.5 0.45, 0.3, 0.25 解 全概率公式可看成 “由原因推结果” ,而贝叶斯公式的作用在于 “由结果推原因” :现在一个 “结果” A 已经发生了，在众多可能的 “原因” 中,到底是哪一个导致了这一结果？ 故贝叶斯公式也称为“逆概公式”. 在不了解案情细节(事件A)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为 比如原来认为作案可能性较小的某丙，现在变成了重点嫌疑犯. 例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人. 丙 乙 甲 P(A1) P(A2) P(A3) 但在知道案情细节后, 这个估计就有了变化. P(A1 | B) 知道B 发生后 P(A2 | B) P(A3 | B) 偏小 最大 在实际工作中检查的指标 B 一般有多个，综合这些后验概率，当然会对诊断有很大帮助，在实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这一方法是有实用价值的. 下面举一个实际的医学例子，说明贝叶斯公式在解决实际问题中的作用. 解 例5 因此，虽然检验法相当可靠，但被诊断为患肝癌的人真正患病的概率并不大，其主要原因是人群中患 肝癌的比例相当小.当然，医生在公布某人患肝癌之前，是不会只做一次或一种检验，还会辅以其他检验手段. 思考：诊断为无病,而确实没有患病的概率为多少？ 贝叶斯公式在商业决策及其他企业管理学科中也有重要应用.有人依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法,叫作“贝叶斯统计”. 可见贝叶斯公式的影响. 解 例6 10个乒乓球有7个新球3个旧球.第一次比赛时随机取出2个，用过后放回. 现在第二次比赛 又取出 2个，问第二次取到几个新球的概率最大？ 具体计算得 由全概率公式， 所以第二次取到一个新球的概率最大. * * *