考查导数的定义的应用.docVIP

考点4 考查导数的定义的应用 例4．已知,为正整数，设，证明． 证明： 因为：，所以 ． 评注：此题考查导数概念性质的直接应用．导数的定义为：设函数在点处及其附近有定义，并且在该点函数增量与自变量增量的比值，当的极限存在，则称此极限为函数在点处的导数，即． 考点5 考查利用导数判断函数的单调性 例5．已知向量，若函数在区间上是增函数，求t的取值范围． 解析：依向量数量积的定义：故：，若在上是增函数，则在上可设．的图象是开口向下的抛物线，由根的分布原理可知：当且仅当，且，上满足，即在上是增函数．综上所述的取值范围是． 评注：此题考查的是可导函数的单调性与其导数的关系和数形结合思想的应用．判断的法则是：设在某个区间内可导，若，则为增函数；若，则为减函数，反之亦然． 考点6 考查导数在函数极点处的性质 利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入 是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解． 例6．已知，讨论函数的极值点的个数． 解析：令=0得． （1）当即0或4时有两个不同的实根,，不妨设，则，易判断在和两侧的符号都相反，即此时有两个极值点． （2）当△=0即=0或=4时，方程有两个相同的实根，于是，故在的两侧均有0，因此无极值． （3）当△0即04时无实数根，即，故为增函数，此时无极值． 综上所述：当无极值点． 评注：此题考查的是可导函数在某点取得极值的充要条件，即：设在某个区间内可导，函数在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零且在该点两侧的导数值异号．本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化． 考点7 考查最值问题 例7．已知a ≥ 0，函数f（x）＝（x2－2ax）ex当x为何值时，f（x）取得最小值？并证明你的结论； 解:（1）对函数f（x）求导数，得f′（x）＝（x2－2ax）ex+（2x－2a）ex＝［x2+2（1-a）x-2a］ex.令f′（x）＝0，得［x2+2（1-a）x-2a］e 从而x2+2（1－a）x－2a＝0.解得x1＝a－1－eq \r(1+a2)，x2＝a－1+eq \r(1+a2)，其中x1＜x2. 当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表： X （－∞ ，x1 ） x1 （ x1 x2） x2 （x2 ，－∞） f ′（x） + 0 — 0 + f （x） 极大值 极小值 当f（x）在x＝x1处取到极大值，在x＝x2处取到极小值. 当a≥0时，x1＜－1，x2 ≥0，f（x）在（x1，x2）为减函数，在（x2，+∞）为增函数. 而当x＜0时，f（x）＝x（x－2a）ex＞0；当x＝0时，f（x 所以当x＝a－1+eq \r(1+a2)时，f（x）取得最小值.