第三章可表示为平方和的正整数.PDF

第三章 可表示為平方和的正整數 定義. 不大於正整數 n 且與 n 互質的正整數個數稱為 n 的歐拉函數, 記為 ϕ(n)。 對於給定的正整數 m, 若將被 m 除餘數相同的整數看成一類, 則所有整數可 以分成被 m 除餘 0, 被 m 除餘 1,. . ., 被 m 除餘 m − 1 等 m 類。 定義. 令 m ∈ N, Ar 表示所有型如 qm + r 的整數 成的集合, 其中 r = 0, 1, ... m − 1, 則 A , A , . . ., A 稱為以 m 為除數的剩餘類。 在 A , A , . . ., A 中 0 1 m−1 0 1 m−1 各取一個數, 則這 m 個數 (即 {ar ∈ Ar | r = 0, 1, . . ., m − 1}) 稱為以 m 為除 數的一 完全剩餘系。 如果一個以 m 為除數的剩餘類裡面的數與 m 互質, 則稱 治 此剩餘類為與 m 互質的剩餘類。 在所有與 m 互質的剩餘類中各取一數所 成的 政 集合, 稱為以 m 為除數的簡化剩餘系。 大 立 學 顯然, 根據定義可知 m 個整數要形成以 m 為除數的一 完全剩餘系的充分必 國 要條件是這 m 個數兩兩被 m 除不同餘。 另外, 根據歐拉函數的定義, 一 以 m 為除數的簡化剩餘系有 ϕ(m) 個數。 引理 4 . 令 m ∈ N, k ∈ Z 且 gcd(k, m) = 1。 若 a , a , . . ., a ‧是以 m 為除數的 ‧ 1 2 m N 一 完全剩餘系, 則 ka , ka , . . ., ka 也是以 m 為除數的一 完全剩餘系。 同樣 1 2 m y 地, 若 b , b , . . ., ba 是以 m 為除數的一組簡化剩餘系, 則 kb , kb , . . ., kb 1 2 ϕ(m) t1 2 ϕ(m) t i i s 也是以 m 為除數的一組簡化剩餘系。 o r n e a v 證 明. 若第一個命題為假, 則存在 1 ≤ i, j ≤ m, i = j 使得 ka ≡ ka (mod m), l i i j C n 因為 gcd(k, m) = 1, 所以 a ≡ a (mod m), 矛盾。 同樣地, 因為 k, b , b , . . ., b i j